Lösung Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen

Gleichung \(x^{-1} = -x\):  
Dies ist äquivalent zu \(\frac{1}{x} = -x \;\Rightarrow\; 1 = -x^2 \;\Rightarrow\; x^2 = -1\).  
Da es keine reellen Lösungen gibt, existieren keine Beispiele.  
Beispiel für ein Gegenbeispiel: \(x=1\) ⇒ \(1^{-1}=1 \neq -1\).

Gleichung \(x^{-1} = \frac{1}{x}\):  
Dies gilt für alle \(x \ne 0\).  
Beispiele: \(x=2\) ⇒ \(2^{-1}=\frac{1}{2}\),  
\(x=-3\) ⇒ \((-3)^{-1}=\frac{1}{-3}\).

Gleichung \(x^{-1} = x\):  
Dies ist äquivalent zu \(\frac{1}{x} = x \;\Rightarrow\; 1 = x^2\).  
Lösungen: \(x=1\) und \(x=-1\).  
Beispiele: \(1^{-1}=1\), \((-1)^{-1}=-1\).

Zuordnung:

\(x^{-1} = -x \;\Leftrightarrow\; x^2 = -1\)  

\(x^{-1} = \frac{1}{x} \;\Leftrightarrow\; 1 = 1\)  

Begründung jeweils durch Umformen der Gleichungen (Multiplikation mit \(x\)).

Der Fall \(x=0\) muss ausgeschlossen werden, da der Ausdruck \(x^{-1}\) bzw. \(\frac{1}{x}\) für \(x=0\) nicht definiert ist.  

Eine Division durch 0 ist nicht möglich, da es keine Zahl gibt, die mit 0 multipliziert den Wert 1 ergibt.