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BPE 1.1 Rechnen mit Termen

Version 27.1 von akukin am 2025/07/10 20:03
Inhalt

K5 Ich kann die Rechengesetze bei Termen mit Variablen anwenden.
K3 Ich kann Sachzusammenhänge als Terme deuten.
K5 Ich kann den Wert von Termen durch das Einsetzen von Zahlen berechnen.

Begründe, ob es sich um eine Summe, ein Produkt oder eine Potenz handelt!

  1. \( 2 \cdot a + 3 \)
  2. \( 2 \cdot (a + 3) \)
  3. \( 2 \cdot a^3 \)
  4. \( 2^{a + 3} \)
AFB I - K6 K5Quelle KMap
Links   KMap Termbaum

Bestimme einen Term, der den Mittelwert einer Zahl, ihrem Doppelten und ihrer Hälfte berechnet!

AFB II - K4 K5Quelle KMap

Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme.

  1. \( 3a - 2 \cdot (a - 5b) \)
  2. \( (2a - 4b):2 + 3a + b \)
AFB I - K5Quelle Serlo

Gib die richtige Vereinfachung des Terms an:
\( (2^3)^2 \)

  ☐ \( 2^5 \)
  ☐ \( 2^6 \)
  ☐ \( 2^9 \)

AFB I - K5Quelle KMap

Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme:

  1. \( 6b^3 : 3b^3 \)
  2. \( \frac{x^m}{x^\(m-3} \)
AFB I - K5Quelle KMap

Potenzen

Gib an, welche Vereinfachung richtig ist.
\( 2x^2 \cdot x^3 \)

  ☐ \( 2x^5 \)
  ☐ \( 2x^6 \)
  ☐ kann man nicht vereinfachen, weil die Exponenten unterschiedlich sind

AFB I - K5Quelle KMap

Nenne die Potenzschreibweise von \( \frac{1}{8} \).

AFB I - K5Quelle KMap

Zusammenfassen

Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme.

a) \( -(a-b) + 1 -(a-b) + 2a - 2b \)

b) \( \frac{2}{3}a + \frac{b}{6} - \frac{a}{3} + \frac{-b}{3} \)

c) \( a + 2ab + b -2a - ab \)

AFB I - K5Quelle KMap

Ausmultiplizieren

Gib, die ausmultiplizierte und vereinfachte Form der folgenden Terme an.

a) \( (a+b)(a-b) \)

b) \( -(a + 2) (b - 2) \)

c) \( \frac{2}{3} (9a-6b) \)

AFB I - K5Quelle KMap

Ausklammern

Gib die faktorisierte Form der Terme an.

a) \( a^2 - 5a = \)

b) \( 9a^3 - 2a = \)

c) \( -a^4 + 3a^2 = \)

d) \( \frac{1}{2}a^4 - a = \)

AFB I - K5Quelle KMap

Binome

Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln!

a) \( ( a+ 3 )^{2}= \)

b) \( -(a + 2) (a - 2)= \)

c) \( ( 2a- 4 )^{2}= \)

AFB I - K5Quelle KMap

Gib an, welche der unten aufgeführten Rechenausdrücke zu folgender Aufgabe passt:
Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 12 und 17 die achtfache Differenz der Zahlen 50 und 28.

  1. \(12\cdot 17-8 \cdot 50-28\)
  2. \((12+17)-8\cdot 50-28\)
  3. \(12\cdot 17-8 \cdot (50-28)\)
  4. \((12+17)-8-(50-28)\)
AFB I - K4 K5Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Richard, Jürgen und Hans-Willi organisieren zusammen eine große Party. Sie bestellen bei einem Pizzaservice 18 Pizzen. Nach der Party zählen die drei Freunde, dass 11 Pizzaschachteln leer, 5 noch halb voll und 2 Schachteln ganz voll sind. Da alle auch gerne eine kalte Pizza essen, möchten sie die Pizzaschachteln so untereinander aufteilen, dass jeder gleich viel bekommt. Ermittle, wie viele Pizzaschachteln jeder dann bekommt.

AFB II - K5 K6Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Bestimme einen Rechenausdruck:
Multipliziere die Differenz der Zahlen 31 und 12 mit 20, addiere dazu das Produkt der Zahlen 35 und 7 und subtrahiere vom Ergebnis die Differenz der Zahlen 45 und 20.

AFB II - K4 K5Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Das Ergebnis einer Addition von Brüchen ist \(\frac{19}{24}\). Bestimme einen Rechenausdruck, wie die Summe zustande gekommen sein kann.

AFB II - K2 K4 K5Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Ordne die Sachverhalte in der linken Spalte den Termen in der rechten Spalte zu:

Zwei Strohhalme unterscheiden sich um 5cm. Der längere hat die Länge x.
 Wenn man die Strohhalme hintereinander legt, haben sie eine Gesamtlänge von 60cm.		\((x+5) + x = 60\)
x ist das Alter von Kurt. Hanne ist 5 Jahre älter.  Zusammen sind sie 60 Jahre alt.\( x \cdot \frac{3}{100}=60\)
Herr Müller erhält bei einem Guthaben von x € Zinsen in Höhe von 60€.
Der Zinssatz beträgt 3%.		\((x+12)(x-5) = 60\)
Eine Seite eines Quadrates wird um 12cm  verlängert, die andere um 5cm verkürzt.
Der  Flächeninhalt der neuen Figur beträgt 60cm².		\( x \cdot \frac{3}{100\cdot 12}=60\)
Auf einer 60kg schweren Palette stehen 5 gleiche Stühle. Die leere Palette wiegt 12kg.\((x-5) + x = 60\)
Für ein Guthaben von x € erhält Frau Müller 3%  Zinsen. Jeden Monat sind dies 60€.\((x+5)x = 60\)
Ein rechteckiges Freigehege, bei dem sich die beiden Seitenlängen um 5m
unterscheiden, hat eine Fläche von 60m².		\(60 - 5x = 12\)
Johnny hat eine Spardose. Johnny hat 5 Schwestern. In der Spardose befinden sich 60€.
An seine Schwestern muss er jeweils einen gleichen Geldbetrag überreichen.
Am Schluss verbleiben ihm 12€.		 \(5x + 12 =60\)
AFB I - k.A.Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Begründe jeweils anhand eines Zahlenbeispiels, dass folgende Termumformungen falsch sind. Gib, wenn es geht, die richtige Termumformung an.

  1. \(a-(b-c)=a-b-c\)
  2. \(p\cdot (q\cdot r)= (p\cdot q)\cdot (p\cdot r)\)
  3. \((a+b)^2=a^2+b^2\)
  4. \(x^2\cdot y^3=(x\cdot y)^5\)
  5. \((-a)^2=-a^2\)
  6. \(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
  7. \(\sqrt{p^2+q^2}=p+q\)
  8. \(\sqrt{x^2}=x\)

Gibt es Zahlenbeispiele, für die die obigen Umformungen zufällig richtig sind?

AFB I - k.A.Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term Auswahlmöglichkeiten Lösungsfeld 
1) \(3x^2 - 2x\)  a) \(x(3x-2)\)
 b) \(3x\)
 c) \(3x(x-2)\) 		 
2) \(2x^2 - 8\)  a) \(2(x+2)(x-2)\)
 b) \(2(x-2)^2\)
 c) \(2x(x-2)\) 		 
3) \(\frac{x^2 - 9}{x + 3}\)  a) \(x - 3\)
 b) \(x\)
 c) \(x + 3\) 		 
4) \(x^3 + 2x^2\)  a) \(2x^5\)
 b) \(2x^6\)
 c) \(x^2(x+2)\) 		 
5) \(5x^2 - 10x + 5\)  a) \(5(x+1)^2\)
 b) \(5(x-1)^2\)
 c) \(5(x-1)(x+1)\) 		 
AFB I - k.A.Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term Auswahlmöglichkeiten Lösungsfeld 
1) \(x^2 - 4\)  a) \((x + 2)(x + 2)\)
 b) \((x - 4)(x + 4)\)
 c) \((x + 2)(x - 2)\) 		 
2) \((x - 2)^2\)  a) \(x^2 - 4x + 4\)
 b) \(x^2 + 4x + 4\)
 c) \(x^2 - 2x + 4\) 		 
3) \((x - 3)(x + 3)\)  a) \(x^2 + 9\)
 b) \(x^2 - 9\)
 c) \((x - 3)^2\) 		 
4) \((x + 1)^2\)  a) \(x^2 + 2x + 2\)
 b) \(x^2 + 1\)
 c) \((x + 1)(x + 1)\) 		 
5) \((2x - 4)^2\)  a) \(2x^2 - 8x + 16\)
 b) \((2x - 4)(2x + 4)\)
 c) \(4x^2 - 16x + 16\) 		 
6) \(16x^2 - 25\)  a) \((8x - 5)(8x + 5)\)
 b) \((4x - 5)(4x - 5)\)
 c) \((4x + 5)(4x - 5)\) 		 
7) \((0,\!5x - 1)(0,\!5x - 1)\)  a) \(0,\!25x^2 - 1\)
 b) \(0,\!25x^2 - x + 1\)
 c) \((0,\!5x + 1)^2\) 
AFB I - k.A.Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term Auswahlmöglichkeiten Lösungsfeld
1) \(2x^2 + x^2\)  a) \(3x^4\)
 b) \(2x^4\)
 c) \(3x^2\) 		 
2) \((-1)^2 + (5x)^0 + 3^0\)  a) \(6x+4\)
 b) \(1\)
 c) \(3\) 		 
3) \(3^{2x} \cdot 3^x\)  a) \(3^{2x^2}\)
 b) \(3^{3x}\)
 c) \(9^{2x^2}\) 		 
4) \((5b^2)^8\)  a) \(5b^6\)
 b) \(125b^6\)
 c) \(125b^5\) 		 
5) \(5 \cdot 3^x - 3^x\)  a) \(4 \cdot 3^x\)
 b) \(12^x\)
 c) \(5\) 		 
6) \(ab^2 : ab\)  a) \(b^3\)
 b) \(b\)
 c) \(a^2b^2\) 		 
7) \(2x^2y + 3xy^2 + 5xy^2 - 7x^2y\)  a) \(3x^2y^3\)
 b) \(8xy^2 - 5x^2y\)
 c) \(3x^2y^2\) 		 
8) \(10^x : 10^x\)  a) \(10^{2x}\)
 b) \(1\)
 c) \(10\) 
AFB I - k.A.Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Trage jeweils ein, welche Werte für die Symbole eingesetzt werden müssen, so dass die Termumformung richtig ist.

a) \((x + \square)(x - \square) = x^2 - 25\)  \(\square=\)    
b) \((2x - \square)^2 = 4x^2 - \Delta + 9\) \(\square=\)    \(\Delta=\)    
c) \((x - \square)^2 = x^2 - 4xy + \Delta\) \(\square=\)    \(\Delta=\)    
d) \((2z - \square)^2 =\heartsuit -8z + \Delta\)  \(\square=\)    \(\Delta=\)    \(\heartsuit=\)    
e) \((4x - \square)(4x + \square) = \Delta - 49y^2\)  \(\square=\)    \(\Delta=\)    
AFB II - k.A.Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Tim stellt seinem Nachhilfeschüler Kevin zwei Aufgaben.
Welcher der angegebenen Terme stellt die richtige Umformung dar?
Erläutere bei a), welche Fehler gemacht wurden. 

  1. Löse die Klammer auf: \((5ab)^3\)
    1. \(5a^3b^3\)
    2. \(125a^3b\)
    3. \(125a^3b^3\)
    4. \(15a^3b^3\)
    5. \(5ab^3\)
  2. Vereinfache soweit wie möglich: \(v^6:v^{n-6}\)
    1. \(v^{-n}\)
    2. \(v^{n+12}\)
    3. \(v^{-1+n}\)
    4. \(v^{12-n}\)
    5. \(v^{n-12}\)
AFB I - k.A.Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Tim überlegt: Wenn \(2^{-1}\) dasselbe ist wie  \(\frac{1}{2}\), dann ist doch \(3^{-2}\) dasselbe wie \(\frac{2}{3}\).
Welches Muster liegt dieser Vorgehensweise zugrunde? Was wäre demnach \(10^{-2}\)?
Hat Tim Recht?

AFB III - k.A.Quelle Team Mathebrücke#mathebrücke

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I0001111
II010341
III000000
Bearbeitungszeit gesamt: 45 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst