Lösung Lineare Algebra

=== Teilaufgabe a) ===

{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}

4

5

{{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.

//Aufgabenstellung//

Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.

//Lösung//

Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.

17

18

{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}

19

20

{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}

21

22

Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.

23

24

{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}

25

26

Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:

\left\{

\begin{aligned}

0 + 1s &= 5 + 3r \\

3 - 2s &= -3 - 4r \\

0 + 2s &= 2 + 2r

\end{aligned}

\right\}

\Leftrightarrow

\left\{

\begin{aligned}

s - 3r &= 5 \\

-2s + 4r &= -6 \\

2s - 2r &= 2

\end{aligned}

\right\}

\Leftrightarrow

r = -2 \land s = -1

Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.

=== Teilaufgabe b) ===

53

54

Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}

55

56

Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.

64

65

//(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//

//Lösung//

Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.

70

71

Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.

72

73

Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}

74

75

Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.

76

77

{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}

78

79

Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.

80

81

{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}

82

83

{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}

84

85

Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.

86

87

{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}

88

89

90

=== Teilaufgabe c) ===

91

92

Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}

93

94

Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}

95

[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

96

97

98

=== Teilaufgabe d) ===

99

100

Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}

101

102

{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}{{/formula}}

103

104

Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.

105

106

Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.

107

108

109

=== Teilaufgabe e) ===

110

111

Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}

112

113

Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}

114

115

Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.

116

117

118

=== Teilaufgabe f) ===

119

120

Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.

121

122

{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}

123

124

{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.

125

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		3	{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
		4	<br>
		5	{{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1\|5\|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
		6	{{/detail}}
		7
		8
		9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		10	//Aufgabenstellung//
		11	<br><p>
		12	Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
		13	</p>
		14	//Lösung//
		15	<br>
		16	Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
		17	<br>
		18	{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
		19	<br>
		20	{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
		21	<br>
		22	Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
		23	<br>
		24	{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
		25	<br>
		26	Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
		27
		28	{{formula}}
		29	\left\{
		30	\begin{aligned}
		31	0 + 1s &= 5 + 3r \\
		32	3 - 2s &= -3 - 4r \\
		33	0 + 2s &= 2 + 2r
		34	\end{aligned}
		35	\right\}
		36	\Leftrightarrow
		37	\left\{
		38	\begin{aligned}
		39	s - 3r &= 5 \\
		40	-2s + 4r &= -6 \\
		41	2s - 2r &= 2
		42	\end{aligned}
		43	\right\}
		44	\Leftrightarrow
		45	r = -2 \land s = -1
		46	{{/formula}}
		47
		48	Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
		49
		50	{{/detail}}
		51
		52	=== Teilaufgabe b) ===
		53	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		54	Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
		55	<br>
		56	Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
		57	{{/detail}}
		58
		59
		60	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		61	//Aufgabenstellung//
		62	<br><p>
		63	Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
		64	<br>
		65	//(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
		66	</p>
		67	//Lösung//
		68	<br>
		69	Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
		70	<br>
		71	Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
		72	<br>
		73	Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
		74	<br><p>
		75	Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
		76	</p>
		77	{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
		78	<br>
		79	Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
		80	<br>
		81	{{formula}}A(0\|3\|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
		82	<br>
		83	{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
		84	<br>
		85	Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
		86	<br>
		87	{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
		88	{{/detail}}
		89
		90	=== Teilaufgabe c) ===
		91	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		92	Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3\|0\|0){{/formula}}
		93	<br>
		94	Analog: {{formula}}S_2 (0\|3\|0), \ S_3 (0\|0\|6){{/formula}}
		95	[[image:LösungB3.2.png\|\|width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		96	{{/detail}}
		97
		98	=== Teilaufgabe d) ===
		99	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		100	Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
		101	<br>
		102	{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ \|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{18}{{/formula}}
		103	<br>
		104	Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
		105	<br>
		106	Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3\|0\|0){{/formula}}.
		107	{{/detail}}
		108
		109	=== Teilaufgabe e) ===
		110	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		111	Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1\|1\|2){{/formula}}
		112	<br>
		113	Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}\|\vec{n}\|=3{{/formula}}
		114	<br>
		115	Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9\|9\|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7\|-7\|-2){{/formula}}.
		116	{{/detail}}
		117
		118	=== Teilaufgabe f) ===
		119	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		120	Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
		121	<br>
		122	{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
		123	<br>
		124	{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3\|3\|3){{/formula}}.
		125	{{/detail}}

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