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Lösung Lineare Algebra

Version 4.1 von akukin am 2025/01/30 23:28

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell) g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}
g\cap h ergibt Schnittpunkt T(-1|5|-2), d.h. g und h liegen in einer Ebene.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Zeige, dass die Geraden g und h in einer gemeinsamen Ebene E liegen.

Lösung
Die Gleichung der Gerade g hat den Stützpunkt A und den Richtungsvektor \overrightarrow{AC}.
g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}
g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}
Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)
Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für r und s:

\left\{ \begin{aligned} 0 + 1s &= 5 + 3r \\ 3 - 2s &= -3 - 4r \\ 0 + 2s &= 2 + 2r \end{aligned} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} s - 3r &= 5 \\ -2s + 4r &= -6 \\ 2s - 2r &= 2 \end{aligned} \right\} \Leftrightarrow r = -2 \land s = -1

Da das LGS eine Lösung hat, liegen g und h in einer Ebene.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) Normalenvektor: \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right)
Damit nach Punktprobe z. B. mit A: E: 2x_1+2x_2+x_3=6
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene E.
(Zur Kontrolle E: 2x_1+2x_2+x_3=6)

Lösung
Die beiden Richtungsvektoren der Geraden g und h sind die Spannvektoren der Ebene E.
Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
Normalenvektor: \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right)

Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b, wobei \vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right) ein Normalenvektor der Ebene ist.

E: 4x_1+4x_2+2x_3=b
Den noch fehlenden Wert für b auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt A.
A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12
E: 4x_1+4x_2+2x_3=12
Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
E: 2x_1+2x_2+x_3=6

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont (offiziell) Spurpunkt S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0)
Analog: S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6) LösungB3.2.png

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont (offiziell) Der weitere Eckpunkt sei B, dieser liegt in E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6
\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}
Damit sind AB und BC Seiten eines in E liegenden Quadrats.
Mit \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} ist D(3|0|0).

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (offiziell) Mittelpunkt der Grundfläche: \overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right); also M(1|1|2)
Normalenvektor von E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right) mit |\vec{n}|=3
Damit gilt für die Spitze S der Pyramide \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}, also S(9|9|6) oder S(-7|-7|-2).

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont (offiziell) Die x_3-Koordinate von R^\prime ist negativ, während alle x_3-Koordinaten der Punkte A,B,C,D größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss R außerhalb der Grundfläche ABCD liegen.
g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}
g_{MR}\cap g_{R^\prime R} ergibt den Schnittpunkt R(3|3|3).