Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}\)\(g\cap h\) ergibt Schnittpunkt \(T(-1|5|-2)\), d.h. \(g\) und \(h\) liegen in einer Ebene.
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungZeige, dass die Geraden \(g\) und \(h\) in einer gemeinsamen Ebene \(E\) liegen.
LösungDie Gleichung der Gerade \(g\) hat den Stützpunkt \(A\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{AC}\).
\(g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}\)
\(g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}\)
Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
\(g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \)
Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für \(r\) und \(s\):
\[\left\{
\begin{aligned}
0 + 1s &= 5 + 3r \\
3 - 2s &= -3 - 4r \\
0 + 2s &= 2 + 2r
\end{aligned}
\right\}
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
s - 3r &= 5 \\
-2s + 4r &= -6 \\
2s - 2r &= 2
\end{aligned}
\right\}
\Leftrightarrow
r = -2 \land s = -1\]
Da das LGS eine Lösung hat, liegen \(g\) und \(h\) in einer Ebene.Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
Normalenvektor: \(\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right)\)Damit nach Punktprobe z. B. mit \(A\): \(E: 2x_1+2x_2+x_3=6\)
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene \(E\).
(Zur Kontrolle \(E: 2x_1+2x_2+x_3=6)\)
Die beiden Richtungsvektoren der Geraden \(g\) und \(h\) sind die Spannvektoren der Ebene \(E\).
Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
Normalenvektor: \(\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right)\)
Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene \(n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b\), wobei \(\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right)\) ein Normalenvektor der Ebene ist.
\(E: 4x_1+4x_2+2x_3=b\)Den noch fehlenden Wert für \(b\) auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt \(A\).
\(A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12\)
\(E: 4x_1+4x_2+2x_3=12\)
Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
\(E: 2x_1+2x_2+x_3=6\)
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont (offiziell)
Spurpunkt \(S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0)\)Analog: \(S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6)\)
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont (offiziell)
Der weitere Eckpunkt sei \(B\), dieser liegt in \(E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6\)\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}\)
Damit sind \(AB\) und \(BC\) Seiten eines in \(E\) liegenden Quadrats.
Mit \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}\) ist \(D(3|0|0)\).
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont (offiziell)
Mittelpunkt der Grundfläche: \(\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)\); also \(M(1|1|2)\)Normalenvektor von \(E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right)\) mit \(|\vec{n}|=3\)
Damit gilt für die Spitze \(S\) der Pyramide \(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}\), also \(S(9|9|6)\) oder \(S(-7|-7|-2)\).
Teilaufgabe f)
Erwartungshorizont (offiziell)
Die \(x_3\)-Koordinate von \(R^\prime\) ist negativ, während alle \(x_3\)-Koordinaten der Punkte \(A,B,C,D\) größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss \(R\) außerhalb der Grundfläche \(ABCD\) liegen.\(g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}\)
\(g_{MR}\cap g_{R^\prime R}\) ergibt den Schnittpunkt \(R(3|3|3)\).