Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=150\) und \(p=0,77\).\(P(A)=P(X=110)\approx0,0424\)
\(P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716\)
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(Y\): Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
\(Y\) ist binomialverteilt mit \(n=45000\) und \(p=0,77\).Erwartungswert: \(\mu=34650\), Standardabweichung: \(\sigma\approx89,3\)
\(P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694) =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382\)
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(V\): Mangelnde Vorbereitung; \(S\): Schmerzen während des Laufs\(P(S\cup V)=1-0,13=0,87\)
\(P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V\right)\right)=0,87-0,72=0,15\)
\(P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2\)
\(0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164\)
Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(Z\): Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; \(Z\) ist binomialverteilt mit \(n=1000,\ \ p=0,34\)Gesucht ist das größte \(k\), so dass \(P(Z<k)<0,2\). \(P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202\)
Die gesuchte Zahl \(k\) ist somit 327.
Teilaufgabe f)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(F\): Person ist eine Frau; \(L\): Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten\(P_F(L)\approx0,0651\) (WTR, Normalverteilung mit \(\mu=271,\ \ \sigma=44\)) \(P_{\overline{F}}(L)\approx0,103\) (WTR, Normalverteilung mit \(\mu=245,\ \ \sigma=50\)) \(P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284\)