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2024 eAN - Teil B - Stochastik - Aufgabensatz I

Zuletzt geändert von akukin am 2025/02/13 21:01

Bei einem Marathonlauf kommen erfahrungsgemäß 77 % der Teilnehmer im Ziel an.
Untersucht wird eine Gruppe von 150 zufällig ausgewählten Teilnehmern. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen.

  1. [2 BE] Es gilt: P(X>115)\approx 50,7 \%.
    Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
  2. [4 BE] Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
    A: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
    B: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
  3. [6 BE] Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
    Y beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
    Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Y um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben 

  • 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
  • 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
  • 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“

den Lauf abgebrochen. 

  1. [5 BE] Zeige, dass 20 % derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
    Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.

34 % der Teilnehmer, die den Lauf beenden, sind Frauen.

  1. [4 BE] Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl k, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als k Frauen befinden, kleiner als 20 % ist. 
  2. [4 BE] Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
    Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt. 
Bewertungseinheiten gesamt   25
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a2   I I I X
b4     I  I I X
c6  II I  II II X
d5II II II III II X
e4 III  II   II X
f4II     III I III X