Lösung Stochastik
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Es gilt: .
Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
Die Zufallsvariable
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont (offiziell)
: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
Erwartungswert:
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
Erwartungswert:
Standardabweichung:
Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten
von
bis zu
kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit
noch umformuliert werden.
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont (offiziell)
Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungZeige, dass 20 % derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
LösungMit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
15%8 | 67%5 | 82%1 | |
---|---|---|---|
5%4 | 13%3 | 18%2 | |
20%7 | 80%6 | 100% |
Schwarz: Angaben aus dem Text
Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
Also:
Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont (offiziell)
Gesucht ist das größte
Die gesuchte Zahl
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl , so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als
Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
Gesucht ist das größte , so dass
.
Die gesuchte Zahl
Teilaufgabe f)
Erwartungshorizont (offiziell)
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungDie benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten. Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
Lösung
: Person ist eine Frau;
: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
(Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit
)
Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit
Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.