Lösung Aufgabe 1

Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.

17

18

Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.

19

20

21

=== Teilaufgabe b) ===

22

23

{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

24

25

{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}

26

27

{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

35

36

{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.

37

38

{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.

//Lösung//

{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

43

44

{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)

45

46

{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)

47

48

49

=== Teilaufgabe c) ===

50

51

52

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts

53

54

{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

55

56

Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}

57

58

{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)

59

=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.

67

{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.

68

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

//Lösung//

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts

73

74

{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

75

76

Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe

77

78

Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},

79

80

Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}

81

82

{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)

83

=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}

84

85

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.

86

87

{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}

88

89

Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.

90

91

{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)

92

93

94

=== Teilaufgabe d) ===

95

96

{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs

97

98

{{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}

99

100

{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}

101

102

{{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}

103

104

{{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}

105

106

Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.

//Aufgabenstellung//

Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben

113

(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“

114

* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“

115

* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))

116

den Lauf abgebrochen.

//Lösung//

{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs

121

Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.

122

(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)

123

| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

124

|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,

125

|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,

126

|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%

127

128

Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte

129

130

Schwarz: Angaben aus dem Text

131

132

(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“))))

133

134

(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}})))

135

136

Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)

137

138

{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}

139

{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}

140

141

Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}

142

143

Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

=== Teilaufgabe e) ===

148

149

{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}

150

151

Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.

152

153

{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}

154

155

Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.

156

157

158

=== Teilaufgabe f) ===

159

160

{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten

161

162

{{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})

163

164

{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})

165

166

{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}

167

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		3	Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
		4	{{/detail}}
		5
		6
		7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		8	//Aufgabenstellung//
		9	<br><p>
		10	Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
		11	<br>
		12	Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
		13	</p>
		14	//Lösung//
		15	<br>
		16	Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
		17	<br>
		18	Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
		19	{{/detail}}
		20
		21	=== Teilaufgabe b) ===
		22	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		23	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		24	<br>
		25	{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}
		26	<br>
		27	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
		28	{{/detail}}
		29
		30
		31	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		32	//Aufgabenstellung//
		33	<br><p>
		34	Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
		35	<br>
		36	{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
		37	<br>
		38	{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
		39	</p>
		40	//Lösung//
		41	<br>
		42	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		43	<br>
		44	{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
		45	<br>
		46	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
		47	{{/detail}}
		48
		49	=== Teilaufgabe c) ===
		50	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		51	<p>
		52	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
		53	</p>
		54	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		55	<br>
		56	Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}
		57	<br>
		58	{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
		59	=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
		60	{{/detail}}
		61
		62
		63	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		64	//Aufgabenstellung//
		65	<br><p>
		66	Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
		67	{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
		68	Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
		69	</p>
		70	//Lösung//
		71	<br>
		72	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
		73	</p>
		74	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		75	<br>
		76	Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
		77	<br>
		78	Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
		79	<br>
		80	Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
		81	<br>
		82	{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
		83	=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
		84	<br>
		85	Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
		86	<br>
		87	{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
		88	<br><p>
		89	Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
		90	</p>
		91	{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
		92	{{/detail}}
		93
		94	=== Teilaufgabe d) ===
		95	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		96	{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
		97	<br>
		98	{{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}
		99	<br>
		100	{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
		101	<br>
		102	{{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}
		103	<br>
		104	{{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}
		105	<br>
		106	Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
		107	{{/detail}}
		108
		109	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		110	//Aufgabenstellung//
		111	<br><p>
		112	Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
		113	(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
		114	* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
		115	* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
		116	den Lauf abgebrochen.
		117	</p>
		118	//Lösung//
		119	<br>
		120	{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
		121	Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
		122	(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
		123	\| \|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
		124	\|{{formula}}V{{/formula}}\|(% style="color:green" %)15%,,8,,\|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,\|82%,,1,,
		125	\|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}\|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,\|13%,,3,,\|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
		126	\|{{formula}}\sum{{/formula}} \|(% style="color:green" %) 20%,,7,,\|(% style="color:green" %) 80%,,6,,\|100%
		127
		128	Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
		129	<br>
		130	Schwarz: Angaben aus dem Text
		131	<br>
		132	(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“))))
		133	<br><p>
		134	(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}})))
		135	</p>
		136	Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
		137	<br>
		138	{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
		139	{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
		140	<br>
		141	Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
		142	<br>
		143	Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
		144
		145	{{/detail}}
		146
		147	=== Teilaufgabe e) ===
		148	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		149	{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
		150	<br>
		151	Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
		152	<br>
		153	{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
		154	<br>
		155	Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
		156	{{/detail}}
		157
		158	=== Teilaufgabe f) ===
		159	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		160	{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
		161	<br>
		162	{{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
		163	<br>
		164	{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
		165	<br>
		166	{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
		167	{{/detail}}

Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 1