Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Es gilt: \(P(X>115)\approx 50,7 \%\).
Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
Die Zufallsvariable \(X\) beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt \(X>115\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=150\) und \(p=0,77\).\(P(A)=P(X=110)\approx0,0424\)
\(P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716\)
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
\(A\): Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
\(B\): Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=150\) und \(p=0,77\).
\(P(A)=P(X=110)\approx0,0424\) (Taschenrechner: binomialpdf)
\(P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716\) (Taschenrechner: binomialcdf)
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(Y\): Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
\(Y\) ist binomialverteilt mit \(n=45000\) und \(p=0,77\).Erwartungswert: \(\mu=34650\), Standardabweichung: \(\sigma\approx89,3\)
\(P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694) =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382\)
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungJeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt. \(Y\) beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass \(Y\) um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
Lösung\(Y\): Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n=45000\) und \(p=0,77\).
Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
Erwartungswert: \(\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650\),
Standardabweichung: \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3\)
\(P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694) =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382\)
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(Y\) um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass \(Y\) Werte zwischen \(\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606\) und \(\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694\) annimmt.
\(P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694)\)
Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten \(P(X\le m)\) berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) von \(P\left(X=0\right)\) bis zu \(P\left(X=m\right)\) kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P\left(34606\le Y\le34694\right)\) noch umformuliert werden.
\(P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382\) (Taschenrechner: binomialcdf)Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(V\): Mangelnde Vorbereitung; \(S\): Schmerzen während des Laufs\(P(S\cup V)=1-0,13=0,87\)
\(P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15\)
\(P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2\)
\(0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164\)
Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungVon den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
- 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
- 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
- 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“
den Lauf abgebrochen.
Lösung\(V\): Mangelnde Vorbereitung; \(S\): Schmerzen während des Laufs Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
| \(S\) | \(\overline{S}\) | \(\sum\) | |
| \(V\) | 15%8 | 67%5 | 82%1 |
|---|---|---|---|
| \(\overline{V}\) | 5%4 | 13%3 | 18%2 |
| \(\sum\) | 20%7 | 80%6 | 100% |
Schwarz: Angaben aus dem Text
Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“
)
Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit \(P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%\)
Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
\(P(S\cap V)=0,15\) \(P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164\)
Also: \(P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)\)
Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(Z\): Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; \(Z\) ist binomialverteilt mit \(n=1000,\ \ p=0,34\)Gesucht ist das größte \(k\), so dass \(P(Z<k)<0,2\).
\(P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202\)
Die gesuchte Zahl \(k\) ist somit 327.
Teilaufgabe f)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(F\): Person ist eine Frau; \(L\): Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten\(P_F(L)\approx0,0651\) (WTR, Normalverteilung mit \(\mu=271,\ \ \sigma=44\))
\(P_{\overline{F}}(L)\approx0,103\) (WTR, Normalverteilung mit \(\mu=245,\ \ \sigma=50\))
\(P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284\)