Lösung Stochastik

Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.

17

18

Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.

19

20

21

=== Teilaufgabe b) ===

22

23

{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

24

25

{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}

26

27

{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

35

36

{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.

37

38

{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.

//Lösung//

{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

43

44

{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)

45

46

{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)

47

48

49

=== Teilaufgabe c) ===

50

51

52

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts

53

54

{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

55

56

Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}

57

58

{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)

59

=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.

67

{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.

68

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

//Lösung//

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts

73

74

{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

75

76

Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.

77

78

Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},

79

80

Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}

81

82

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.

83

84

{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}

85

86

Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.

87

88

{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)

89

90

91

=== Teilaufgabe d) ===

92

93

{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs

94

95

{{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}

96

97

{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}

98

99

{{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}

100

101

{{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}

102

103

Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.

//Aufgabenstellung//

Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben

111

(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“

112

* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“

113

* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))

114

den Lauf abgebrochen.

//Lösung//

{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs

119

120

Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.

121

(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)

122

| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

123

|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,

124

|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,

125

|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%

126

127

Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte

128

129

Schwarz: Angaben aus dem Text

130

131

(% style="color:green" %) (((

132

Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)

133

)))

134

(% style="color:red" %) (((

135

Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}

136

)))

137

138

Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)

139

140

{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}

141

142

{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}

143

144

Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}

145

146

Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

=== Teilaufgabe e) ===

151

152

{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;

153

154

{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}

155

156

Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.

157

158

{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}

159

160

Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.

//Aufgabenstellung//

Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.

//Lösung//

{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;

172

173

{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}

174

175

Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.

176

177

Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:

178

179

{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}

180

181

Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.

=== Teilaufgabe f) ===

186

187

{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten

188

189

{{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})

190

191

{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})

192

193

{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.

201

Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.

//Lösung//

{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten

206

207

Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.

208

209

{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})

210

211

{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})

212

213

Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.

214

215

Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:

216

217

{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}

218

219

{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}

220

221

Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann

\begin{align}

P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\

226

\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}

\end{align}

{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.

231

232

{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}

233

234

Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.

235

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		3	Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
		4	{{/detail}}
		5
		6
		7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		8	//Aufgabenstellung//
		9	<br><p>
		10	Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
		11	<br>
		12	Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
		13	</p>
		14	//Lösung//
		15	<br>
		16	Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
		17	<br>
		18	Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
		19	{{/detail}}
		20
		21	=== Teilaufgabe b) ===
		22	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		23	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		24	<br>
		25	{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}
		26	<br>
		27	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
		28	{{/detail}}
		29
		30
		31	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		32	//Aufgabenstellung//
		33	<br><p>
		34	Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
		35	<br>
		36	{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
		37	<br>
		38	{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
		39	</p>
		40	//Lösung//
		41	<br>
		42	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		43	<br>
		44	{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
		45	<br>
		46	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
		47	{{/detail}}
		48
		49	=== Teilaufgabe c) ===
		50	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		51	<p>
		52	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
		53	</p>
		54	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		55	<br>
		56	Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}
		57	<br>
		58	{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
		59	=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
		60	{{/detail}}
		61
		62
		63	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		64	//Aufgabenstellung//
		65	<br><p>
		66	Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
		67	{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
		68	Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
		69	</p>
		70	//Lösung//
		71	<br>
		72	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
		73	<br>
		74	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		75	<br>
		76	Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
		77	<br>
		78	Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
		79	<br><p>
		80	Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
		81	</p>
		82	Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
		83	<br>
		84	{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
		85	<br><p>
		86	Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
		87	</p>
		88	{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
		89	{{/detail}}
		90
		91	=== Teilaufgabe d) ===
		92	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		93	{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
		94	<br>
		95	{{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}
		96	<br>
		97	{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
		98	<br>
		99	{{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}
		100	<br>
		101	{{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}
		102	<br>
		103	Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
		104	{{/detail}}
		105
		106
		107	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		108	//Aufgabenstellung//
		109	<br><p>
		110	Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
		111	(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
		112	* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
		113	* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
		114	den Lauf abgebrochen.
		115	</p>
		116	//Lösung//
		117	<br>
		118	{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
		119	<br>
		120	Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
		121	(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
		122	\| \|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
		123	\|{{formula}}V{{/formula}}\|(% style="color:green" %)15%,,8,,\|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,\|82%,,1,,
		124	\|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}\|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,\|13%,,3,,\|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
		125	\|{{formula}}\sum{{/formula}} \|(% style="color:green" %) 20%,,7,,\|(% style="color:green" %) 80%,,6,,\|100%
		126
		127	Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
		128	<br>
		129	Schwarz: Angaben aus dem Text
		130	<br>
		131	(% style="color:green" %) (((
		132	Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
		133	)))
		134	(% style="color:red" %) (((
		135	Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
		136	)))
		137	<br>
		138	Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
		139	<br>
		140	{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
		141	<br>
		142	{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
		143	<br>
		144	Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
		145	<br>
		146	Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
		147
		148	{{/detail}}
		149
		150	=== Teilaufgabe e) ===
		151	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		152	{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
		153	<br>
		154	{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
		155	<br>
		156	Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
		157	<br>
		158	{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
		159	<br>
		160	Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
		161	{{/detail}}
		162
		163
		164	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		165	//Aufgabenstellung//
		166	<br><p>
		167	Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
		168	</p>
		169	//Lösung//
		170	<br>
		171	{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
		172	<br>
		173	{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
		174	<br><p>
		175	Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
		176	</p>
		177	Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
		178	<br>
		179	{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
		180	<br>
		181	Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
		182	{{/detail}}
		183
		184
		185	=== Teilaufgabe f) ===
		186	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		187	{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
		188	<br>
		189	{{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
		190	<br>
		191	{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
		192	<br>
		193	{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
		194	{{/detail}}
		195
		196
		197	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		198	//Aufgabenstellung//
		199	<br><p>
		200	Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
		201	Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
		202	</p>
		203	//Lösung//
		204	<br><p>
		205	{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
		206	</p><p>
		207	Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
		208	</p>
		209	{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
		210	<br><p>
		211	{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
		212	</p>
		213	Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
		214	<br>
		215	Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
		216	<br>
		217	{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
		218	<br>
		219	{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
		220	<br>
		221	Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
		222
		223	{{formula}}
		224	\begin{align}
		225	P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
		226	\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
		227	\end{align}
		228	{{/formula}}
		229
		230	{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
		231	<br>
		232	{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
		233	<br>
		234	Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
		235	{{/detail}}

Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik