Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:26

version	line-number	content
1.1	1	=== Teilaufgabe a) ===
	2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
	3	Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
	4	{{/detail}}
	5
2.1	6
	7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	8	//Aufgabenstellung//
	9	<br><p>
	10	Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
	11	<br>
	12	Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
	13	</p>
	14	//Lösung//
	15	<br>
	16	Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
	17	<br>
	18	Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
	19	{{/detail}}
	20
1.1	21	=== Teilaufgabe b) ===
	22	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
	23	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
	24	<br>
	25	{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}
	26	<br>
	27	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
	28	{{/detail}}
	29
2.1	30
	31	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	32	//Aufgabenstellung//
	33	<br><p>
	34	Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
	35	<br>
	36	{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
	37	<br>
	38	{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
	39	</p>
	40	//Lösung//
	41	<br>
	42	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
	43	<br>
7.1	44	{{formula}}P(A)=P(X=110)=B_{150;0,77}(110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
2.1	45	<br>
4.1	46	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
2.1	47	{{/detail}}
	48
1.1	49	=== Teilaufgabe c) ===
	50	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
	51	<p>
	52	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
	53	</p>
	54	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
	55	<br>
	56	Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}
	57	<br>
	58	{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
	59	=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
	60	{{/detail}}
	61
2.1	62
	63	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	64	//Aufgabenstellung//
	65	<br><p>
	66	Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
7.1	67	<br>
2.1	68	{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
7.1	69	<br>
2.1	70	Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
	71	</p>
	72	//Lösung//
	73	<br>
	74	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
4.1	75	<br>
2.1	76	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
	77	<br>
4.1	78	Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
2.1	79	<br>
	80	Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
4.1	81	<br><p>
2.1	82	Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
4.1	83	</p>
2.1	84	Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
	85	<br>
	86	{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
	87	<br><p>
	88	Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
	89	</p>
	90	{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
	91	{{/detail}}
	92
1.1	93	=== Teilaufgabe d) ===
	94	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
	95	{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
	96	<br>
	97	{{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}
	98	<br>
1.2	99	{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
1.1	100	<br>
	101	{{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}
	102	<br>
	103	{{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}
	104	<br>
	105	Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
	106	{{/detail}}
	107
3.1	108
2.1	109	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	110	//Aufgabenstellung//
7.1	111	<br>
	112	Zeige, dass 20 % derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
2.1	113	<br><p>
7.1	114	Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
2.1	115	</p>
	116	//Lösung//
	117	<br>
	118	{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
3.1	119	<br>
2.1	120	Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
	121	(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
	122	\| \|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
4.1	123	\|{{formula}}V{{/formula}}\|(% style="color:green" %)15%,,8,,\|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,\|82%,,1,,
	124	\|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}\|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,\|13%,,3,,\|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
2.1	125	\|{{formula}}\sum{{/formula}} \|(% style="color:green" %) 20%,,7,,\|(% style="color:green" %) 80%,,6,,\|100%
	126
	127	Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
	128	<br>
	129	Schwarz: Angaben aus dem Text
	130	<br>
3.1	131	(% style="color:green" %) (((
	132	Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
	133	)))
	134	(% style="color:red" %) (((
7.1	135	Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
3.1	136	)))
	137	<br>
2.1	138	Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
	139	<br>
	140	{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
4.1	141	<br>
2.1	142	{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
	143	<br>
	144	Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
	145	<br>
	146	Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
	147
	148	{{/detail}}
	149
1.1	150	=== Teilaufgabe e) ===
	151	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3.1	152	{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
1.1	153	<br>
3.1	154	{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
	155	<br>
1.1	156	Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
1.2	157	<br>
1.1	158	{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
	159	<br>
	160	Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
	161	{{/detail}}
	162
3.1	163
	164	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	165	//Aufgabenstellung//
	166	<br><p>
	167	Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
	168	</p>
	169	//Lösung//
	170	<br>
	171	{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
	172	<br>
	173	{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
	174	<br><p>
	175	Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
	176	</p>
	177	Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
	178	<br>
7.1	179	{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184{{/formula}}
3.1	180	<br>
7.1	181	{{formula}}P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
	182	<br>
	183	Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit {{formula}}327{{/formula}}.
3.1	184	{{/detail}}
	185
	186
1.1	187	=== Teilaufgabe f) ===
	188	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
	189	{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
	190	<br>
	191	{{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
1.2	192	<br>
1.1	193	{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
1.2	194	<br>
1.1	195	{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
	196	{{/detail}}
5.1	197
	198
	199	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	200	//Aufgabenstellung//
	201	<br><p>
	202	Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
	203	Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
	204	</p>
	205	//Lösung//
	206	<br><p>
	207	{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
	208	</p><p>
	209	Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
	210	</p>
6.1	211	{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
5.1	212	<br><p>
6.1	213	{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
5.1	214	</p>
	215	Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
6.1	216	<br>
5.1	217	Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
	218	<br>
6.1	219	{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
5.1	220	<br>
6.1	221	{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
5.1	222	<br>
	223	Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
	224
	225	{{formula}}
	226	\begin{align}
	227	P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
	228	\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
	229	\end{align}
	230	{{/formula}}
	231
	232	{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
	233	<br>
7.1	234	{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
5.1	235	<br>
	236	Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
	237	{{/detail}}