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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis

Version 6.1 von akukin am 2026/01/17 13:28
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Ansatz:
4 {{formula}}
5 g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b
6 {{/formula}}
7 <br>
8 {{formula}}
9 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
10 {{/formula}}
11 <br>
12 {{formula}}
13 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
14 {{/formula}}
15 <br>
16 {{formula}}
17 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},
18 {{/formula}} also {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
19 {{/formula}}
20 {{/detail}}
21
22
23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 //Aufgabenstellung//
25 <br><p>
26 Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 </p>
28 //Lösung//
29 <br>
30 Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 <br>
32 {{formula}}
33 g(x) = ax^2 + bx + c
34 {{/formula}}
35 <p></p>
36 Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37
38 * Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 {{formula}}
40 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 {{/formula}}
42 * Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
43 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 {{/formula}}
45 * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 <p></p>
48 Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
49 {{/formula}}
50 {{/detail}}
51
52 === Teilaufgabe b) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
54 [[image:b.png||width="300"]]
55 {{/detail}}
56
57
58 === Teilaufgabe c) ===
59 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
60 <p>
61 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
62 </p>
63 {{formula}}
64 \int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
65 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
66 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
67 {{/formula}}
68 {{/detail}}
69
70
71 === Teilaufgabe d) ===
72 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
73 {{formula}}
74 \begin{align*}
75 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
76 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
77 \end{align*}
78 {{/formula}}
79 {{/detail}}
80
81
82 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
83 //Aufgabenstellung//
84 <br><p>
85 Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
86 </p>
87 //Lösung//
88 <br>
89 Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
90 <br>
91 {{formula}}
92 \begin{align*}
93 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
94 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
95 \end{align*}
96 {{/formula}}
97 <br>
98 Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
99 {{/detail}}
100
101 === Teilaufgabe e) ===
102 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
103 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
104 <br>
105 (2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
106 <br>
107 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
108 {{/detail}}
109
110
111 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
112 //Aufgabenstellung//
113 <br><p>
114 Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
115 <br>
116 Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
117 <br>
118 (1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall [-2; 2] einmal.
119 <br>
120 (2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
121 <br>
122 (3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
123 </p>
124 //Lösung//
125 <br>
126 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
127 <br>
128 (2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
129 <br>
130 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
131 {{/detail}}
132
133 === Teilaufgabe f) ===
134 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
135 Aussage (1):
136 <br><p>
137 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2.
138 Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0.
139 Es entstehen also unterschiedliche Graphen.
140 </p>
141 Aussage (2):
142 <br>
143 Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
144 {{/detail}}