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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2025/12/29 18:30
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Ansatz:
4 {{formula}}
5 g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b
6 {{/formula}}
7 <br>
8 {{formula}}
9 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
10 {{/formula}}
11 <br>
12 {{formula}}
13 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
14 {{/formula}}
15 <br>
16 {{formula}}
17 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},
18 {{/formula}} also {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
19 {{/formula}}
20 {{/detail}}
21
22
23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24
25 {{/detail}}
26
27 === Teilaufgabe b) ===
28 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
29 [[image:b.png||width="300"]]
30 {{/detail}}
31
32
33 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
34
35 {{/detail}}
36
37 === Teilaufgabe c) ===
38 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
39 <p>
40 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
41 </p>
42 {{formula}}
43 \int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
44 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
45 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
46 {{/formula}}
47 {{/detail}}
48
49
50 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
51
52 {{/detail}}
53
54 === Teilaufgabe d) ===
55 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
56 {{formula}}
57 \begin{align*}
58 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
59 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
60 \end{align*}
61 {{/formula}}
62 {{/detail}}
63
64
65 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
66
67 {{/detail}}
68
69 === Teilaufgabe e) ===
70 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
71 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
72 <br>
73 (2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
74 <br>
75 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
76 {{/detail}}
77
78
79 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
80
81 {{/detail}}
82
83 === Teilaufgabe f) ===
84 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
85 Aussage (1):
86 <br><p>
87 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2.
88 Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0.
89 Es entstehen also unterschiedliche Graphen.
90 </p>
91 Aussage (2):
92 <br>
93 Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
94 {{/detail}}
95
96
97 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98
99 {{/detail}}