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Lösung Analysis

Version 6.1 von akukin am 2026/01/17 13:28

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont Ansatz: \(g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b\)
\(g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1\)
\(g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}\)
\(g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},\) also \(g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Bestimme eine Gleichung der Funktion \( g \).

Lösung
Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
\(g(x) = ax^2 + bx + c\)

Zur Bestimmung der Parameter \(a,b\) und \(c\) nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
  • Schnittpunkt \(S_y(0|1)\): \(g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1\)
  • Steigung \(-\frac{4}{3}\) im Punkt \(S_y(0|1)\): \(g^\prime(x) = 2ax + b; \quad g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}\)
  • Tiefpunkt an der Stelle \(x=2\): \(g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}\)

    Insgesamt erhalten wir somit \(g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1\)

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont b.png

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont

Nullstellen: \(g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3\)

\(\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}\)

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont \(\begin{align*} F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) \end{align*}\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Zeige, dass \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) ist.

Lösung
Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion \(F\):
\(\begin{align*} F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) \end{align*}\)
Da \(F'(x)=f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (1) Die Aussage ist wahr. \(K_{F}\) besitzt im Intervall \([-2;2]\) eine Extremstelle, daher schneidet \(K_{f}\) die x-Achse im Intervall einmal.
(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an \(K_F\) an der Stelle \(x=2{,}5\) hat eine Steigung von ungefähr \(−3\).
(3) Die Aussage ist wahr. \(K_F\) ist für \(x=1{,}5\) rechtsgekrümmt.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen \( K_{F} \) der Funktion \( F \). Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von \( K_{F}\).
(1) \( K_{f} \) schneidet die x-Achse im Intervall [-2; 2] einmal.
(2) Es gilt: \( F^{\prime}(2,5)=-1 \).
(3) Es gilt: \( f^{\prime}(1,5)<0 \).

Lösung
(1) Die Aussage ist wahr. \(K_{F}\) besitzt im Intervall \([-2;2]\) an der Stelle \(x=1\) eine Extremstelle. Daher schneidet \(K_{f}\) die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle \(x=1\).
(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle \(x=2{,}5\) indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an \(K_F\) anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr \(-3\) beträgt, ist die Aussage falsch.
(3) Die Aussage ist wahr. \(K_F\) ist für \(x=1{,}5\) rechtsgekrümmt. Somit ist \(F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0\).

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont Aussage (1):

Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2. Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. Es entstehen also unterschiedliche Graphen.

Aussage (2):
Durch die Verschiebung von \(K_f\) um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von \(x=1\) zu \(x=2\). Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu \(x=-2\), daher schneidet \(K_h\) die x-Achse bei \(x=-2\).