Analyse:
Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden.
In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
sich 5 Diagonalen zählen.
In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
das Zählen bereits schwierig.
Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.
Durchführung:
- mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
Diagonalen wegführen.
5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
Diagonale immer doppelt gezählt (sie verbindet ja zwei Punkte
miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.
Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
54 : 2 = 27.
Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:
Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
von einer Ecke wegführen? Da nur die
Verbindungsstrecke zweier nicht
benachbarter Punkte Diagonale genannt
wird, kommen bei n Ecken, die betreffende
Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n
– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden
werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so
berücksichtigt man wiederum alle
Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
muss also 𝑛∙(𝑛−3)
2
lauten.