Analyse: 

Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden.

In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
sich 5 Diagonalen zählen.

In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
das Zählen bereits schwierig.

Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.

Durchführung: 

 1. mögliche Strategie:  Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.

Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
Diagonalen wegführen.
5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
Diagonale immer doppelt gezählt (sie verbindet ja zwei Punkte
miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.

Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
54 : 2 = 27.
Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen

Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:

Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?

Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei n Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
nur mit (n– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden. 

Rechnet man , so berücksichtigt man wiederum alle
Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also  lauten.

Reflexion/Kontrolle: 
Überprüfung für n = 5 und n = 9:
 stimmt,
 stimmt.

Ein n-Eck besitzt also  Diagonalen.

2. mögliche Strategie: An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen

5-Eck: links oben mit den roten Diagonalen beginnend:

2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale 

5 Diagonalen insgesamt

9-Eck: links oben mit den roten Diagonalen beginnend:

6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange
Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen
+ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27
Diagonalen insgesamt

Verallgemeinerung n-Eck: an einer beliebigen Ecke beginnend:
(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab.
(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab.
(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab.
(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab.
...
2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab.
1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab.
Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig.

Im n-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen.

Reflexion/Kontrolle: 
Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 =
9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.