BPE 1.5 Potenzen

[[Kompetenzen.K1]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke deuten

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zwischen den Darstellungsformen Wurzel und rationaler Exponent wechseln

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Rechengesetze für das Multiplizieren, das Dividieren und das Potenzieren von Potenzen auch für rationale Exponenten anwenden

6

[[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann an Beispielen erläutern, dass die Rechengesetze für das Multiplizieren, das Dividieren und das Potenzieren von Potenzen auch für rationale Exponenten gelten

7

8

* Potenzgesetze anwenden

9

* Wechsel Wurzel und Potenz

10

* vereinfachen

11

* negative Exponenten mit Beispiel erläutern

12

* Folge negative Exponenten

13

* Folge rationale Exponenten

14

* Folge reelle Exponenten

15

16

{{aufgabe id="Negative Exponenten" afb="I" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}

17

Führe fort ..

18

19

| {{formula}}2^3{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^0{{/formula}} | {{formula}}2^{-1}{{/formula}} | {{formula}}2^{-2}{{/formula}}

| 8 | 4 | 2 | | | |

{{aufgabe id="Negative Exponenten Erklärung" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}

24

Erkläre {{formula}}2^{-2} =\frac{1}{4}{{/formula}} mithilfe des Potenzgesetzes {{formula}}a^n:a^m = a^{n-m}{{/formula}}, indem du für //n// und //m// beliebige natürliche Zahlen einsetzt, für die gilt: {{formula}}n-m=-2{{/formula}}.

25

26

27

{{aufgabe id="Rationale Exponenten" afb="I" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}

28

Führe fort ..

29

30

| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}

| 16 | 4 | 2 | | | |

{{aufgabe id="Rationale Exponenten Erklärung" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}

35

Erkläre {{formula}}\left(2^{1/2}\right)^2 = \left(\sqrt{2}\right)^{2} = 2{{/formula}} mithilfe des Potenzgesetzes {{formula}}\left(a^{n}\right)^{m} = a^{n\cdot m}{{/formula}}.

36

37

38

{{aufgabe id="Potenzgesetze" afb="I" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="4"}}

39

Berechne mithilfe der Potenzgesetze:

40

1. {{formula}}\left(2^{3}\right)^{2}{{/formula}}

41

1. {{formula}}\(6b^6\):\(3b^3\){{/formula}}

42

1. {{formula}}2^x\cdot2^{3-x}{{/formula}}

43

44

45

{{aufgabe id="Lücken" afb="I" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="4"}}

46

Fülle die Lücken aus:

47

1. {{formula}}x^2\cdot x^\square=x^5{{/formula}}\\

48

1. {{formula}}x^\square=\left(\frac{1}{x}\right)^2\cdot x^{-1} {{/formula}}\\

49

1. {{formula}}x^{27}=\left(x^{-3}\right)^\square{{/formula}}\\

50

1. {{formula}}\left(\frac{x^\square}{x^{1/3}}\right)^7=x^5{{/formula}}

51

52

53

{{aufgabe id="Vereinfachen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="4"}}

54

Vereinfache unter Zuhilfenahme der Potenzgesetze

55

1. {{formula}}\frac14\cdot2^{a+2}{{/formula}}

56

1. {{formula}}\frac{x^{2u}\cdot x^{a-u}}{x^u}{{/formula}}

57

58

59

{{aufgabe id="Pythagoreisches Tripel" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA" zeit="40"}}

60

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c.

61

Besitzen alle drei Seitenlängen **ganzzahlige Werte**, so nennt man die Kombination (a;b;c) **pythagoreisches Tripel**.

62

63

Erläutere, weshalb es nur ein pythagoreisches Tripel gibt, bei dem eine Seitenlänge den Wert 4 besitzt.

64

65

66

{{aufgabe id="Rationale Potenzen-Potenzgesetze beweisen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Ronja Franke, Katharina Schneider" cc="BY-SA" zeit="15"}}

67

1. (((**Definition und Beispiel**

68

Erkläre, was ein rationaler Exponent ist.

69

Gib ein Beispiel für eine Potenz mit einem rationalen Exponenten und vereinfache diese Potenz.

70

)))

71

1. (((**Eigenschaften**

72

Zeige, dass die folgenden Regeln auch für rationale Exponenten gelten und gib Beispiele:

73

- {{formula}}\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\){{/formula}}

74

- {{formula}}\(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\){{/formula}}

75

- {{formula}}\(\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}\){{/formula}}

76

)))

77

1. (((**Wurzeln und Exponenten**

78

Zeige, wie man mit Hilfe rationaler Exponenten Wurzeln darstellen kann (z.B. {{formula}}\sqrt[3]{a}\{{/formula}} als {{formula}}\(a^{1/3}\){{/formula}}).

79

Berechne die dritte Wurzel von 27 und die vierte Wurzel von 81, indem du rationale Exponenten verwendest.

)))

{{aufgabe id="Rationale Potenzen-komplexe Ausdrücke vereinfachen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Ronja Franke, Katharina Schneider" cc="BY-SA" zeit="15"}}

84

1. (((**Komplexere Ausdrücke**

85

Vereinfache die Ausdrücke

86

- {{formula}}\((8^{2/3} \cdot 4^{1/2}) / (2^{5/3})\){{/formula}}

87

- {{formula}}\((8^{2/3}^{1/2}))\){{/formula}}

88

- {{formula}}\((7^{1/3} \cdot 7^{1/4}) / (3^{7/12})\){{/formula}}

89

mit Hilfe der Potenzgesetze. Gib die verwendeten Potenzgesetze an.

90

)))

91

1. (((**Transfer**

92

Entwickle eine eigene Aufgabe zu rationalen Exponenten und stelle sie einem Mitschüler. Löse die Aufgabe selbst und prüfe, ob dein Mitschüler zu demselben Ergebnis kommt.

93

)))

94

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		1	{{seiteninhalt/}}
		2
		3	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke deuten
		4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zwischen den Darstellungsformen Wurzel und rationaler Exponent wechseln
		5	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Rechengesetze für das Multiplizieren, das Dividieren und das Potenzieren von Potenzen auch für rationale Exponenten anwenden
		6	[[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann an Beispielen erläutern, dass die Rechengesetze für das Multiplizieren, das Dividieren und das Potenzieren von Potenzen auch für rationale Exponenten gelten
		7
		8	* Potenzgesetze anwenden
		9	* Wechsel Wurzel und Potenz
		10	* vereinfachen
		11	* negative Exponenten mit Beispiel erläutern
		12	* Folge negative Exponenten
		13	* Folge rationale Exponenten
		14	* Folge reelle Exponenten
		15
		16	{{aufgabe id="Negative Exponenten" afb="I" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		17	Führe fort ..
		18
		19	\| {{formula}}2^3{{/formula}} \| {{formula}}2^2{{/formula}} \| {{formula}}2^1{{/formula}} \| {{formula}}2^0{{/formula}} \| {{formula}}2^{-1}{{/formula}} \| {{formula}}2^{-2}{{/formula}}
		20	\| 8 \| 4 \| 2 \| \| \| \|
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		24	Erkläre {{formula}}2^{-2} =\frac{1}{4}{{/formula}} mithilfe des Potenzgesetzes {{formula}}a^n:a^m = a^{n-m}{{/formula}}, indem du für //n// und //m// beliebige natürliche Zahlen einsetzt, für die gilt: {{formula}}n-m=-2{{/formula}}.
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		27	{{aufgabe id="Rationale Exponenten" afb="I" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		28	Führe fort ..
		29
		30	\| {{formula}}2^4{{/formula}} \| {{formula}}2^2{{/formula}} \| {{formula}}2^1{{/formula}} \| {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} \| {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
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		33
		34	{{aufgabe id="Rationale Exponenten Erklärung" afb="II" kompetenzen="" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		35	Erkläre {{formula}}\left(2^{1/2}\right)^2 = \left(\sqrt{2}\right)^{2} = 2{{/formula}} mithilfe des Potenzgesetzes {{formula}}\left(a^{n}\right)^{m} = a^{n\cdot m}{{/formula}}.
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		39	Berechne mithilfe der Potenzgesetze:
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		48	1. {{formula}}x^\square=\left(\frac{1}{x}\right)^2\cdot x^{-1} {{/formula}}\\
		49	1. {{formula}}x^{27}=\left(x^{-3}\right)^\square{{/formula}}\\
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		54	Vereinfache unter Zuhilfenahme der Potenzgesetze
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		60	Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c.
		61	Besitzen alle drei Seitenlängen ganzzahlige Werte, so nennt man die Kombination (a;b;c) pythagoreisches Tripel.
		62
		63	Erläutere, weshalb es nur ein pythagoreisches Tripel gibt, bei dem eine Seitenlänge den Wert 4 besitzt.
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		67	1. (((Definition und Beispiel
		68	Erkläre, was ein rationaler Exponent ist.
		69	Gib ein Beispiel für eine Potenz mit einem rationalen Exponenten und vereinfache diese Potenz.
		70	)))
		71	1. (((Eigenschaften
		72	Zeige, dass die folgenden Regeln auch für rationale Exponenten gelten und gib Beispiele:
		73	- {{formula}}\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\){{/formula}}
		74	- {{formula}}\(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\){{/formula}}
		75	- {{formula}}\(\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}\){{/formula}}
		76	)))
		77	1. (((Wurzeln und Exponenten
		78	Zeige, wie man mit Hilfe rationaler Exponenten Wurzeln darstellen kann (z.B. {{formula}}\sqrt[3]{a}\{{/formula}} als {{formula}}\(a^{1/3}\){{/formula}}).
		79	Berechne die dritte Wurzel von 27 und die vierte Wurzel von 81, indem du rationale Exponenten verwendest.
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		85	Vereinfache die Ausdrücke
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		89	mit Hilfe der Potenzgesetze. Gib die verwendeten Potenzgesetze an.
		90	)))
		91	1. (((Transfer
		92	Entwickle eine eigene Aufgabe zu rationalen Exponenten und stelle sie einem Mitschüler. Löse die Aufgabe selbst und prüfe, ob dein Mitschüler zu demselben Ergebnis kommt.
		93	)))
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Wiki-Quellcode von BPE 1.5 Potenzen