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Zuletzt geändert von akukin am 2023/12/16 12:19
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1 __Erwartungshorizont:__
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3 [[image:Dreieck Pythagoras.PNG|| style="float: right" width="120"]] //Analyse: //
4 Es gibt rechtwinklige Dreiecke, in denen beide Katheten und die Hypotenuse
5 ganzzahlige Werte besitzen. Diese heißen pythagoräische Tripel. Es gibt nur ein
6 einziges pythagoräisches Tripel, bei dem eine der drei Seitenlängen den Wert 4
7 besitzt. Dies soll nachgewiesen werden.
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9 //Durchführung: //
10 (__Skizze__ in Verbindung mit) __systematischen Probieren__:
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12 Angenommen die **Hypotenuse** besitzt den Wert 4.
13 Die beiden Katheten müssen dann auf jeden Fall kleiner als 4 sein, es könnten alle möglichen
14 Kombinationen der Seitenlängen 1, 2 und 3 ausprobiert werden und überprüft werden, ob die
15 zugehörige Hypotenuse die Länge 4 besitzt (über den Satz des Pythagoras: a^^2^^ + b^^2^^ = 4^^2^^ = 16)
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17 (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %)
18 |a|b|a^^2|b^^2|c^^2
19 |1|1|1|1|2
20 |1|2|1|4|5
21 |1|3|1|9|10
22 |2|3|4|9|13
23 |3|3|9|9|18
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25 **Keine Kombination der Seitenlängen 1, 2 und 3 gehört zu einem pythagoreischen Tripel.**
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27 D.h. eine der beiden **Katheten** muss den Wert 4 besitzen. Aus dem Satz des Pythagoras folgt
28 4^^2^^ +b^^2^^ = c^^2^^ bzw. c^^2^^ – b^^2^^ = 16. Sind alle Seiten ganzzahlig, so suchen wir zwei ganzzahlige Quadratzahlen,deren Differenz 16 ergibt. Systematisches Probieren zeigt
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30 (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %)
31 |c|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10
32 |c^^2^^|1|4|9|16|25|36|49|64|81|100
33 |c^^2^^ - b^^2^^| |(% style="color:red" %)4-1=3|(% style="color:red" %)9-4=5|(% style="color:red" %)16-9=7|(% style="color:red" %)25-16=9|(% style="color:red" %)36-25=11|(% style="color:red" %)49-36=13|(% style="color:red" %)64-49=15|(% style="color:red" %)81-64=17|(% style="color:red" %)Noch größer
34 | | | |(% style="color:green" %)9-1=8|(% style="color:green" %)16-4=12|(% style="color:green" %)25-9=16|(% style="color:green" %)36-16=20|(% style="color:green" %)Noch größer| | |
35 | | | | |(% style="color:blue" %)16-1=15|(% style="color:blue" %)25-4=21|(% style="color:blue" %)Noch größer| | | |
36 | | | | | |(% style="color:orange" %)25-1=4|(% style="color:orange" %)Noch größer| | | |
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39 Bildet man die Differenz aus zwei Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...) so entsteht niemals
40 der Wert 4^^2^^ = 16, außer im Fall 25 – 9 = 16.
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42 //Reflexion: //
43 Es gibt tatsächlich nur ein einziges pythagoreisches Tripel, bei dem eine Seitenlänge den Wert 4
44 besitzt, nämlich a = 3, b = 4 und c = 5.