Lösung Pythagoreisches Tripel
Erwartungshorizont:
Analyse:
Es gibt rechtwinklige Dreiecke, in denen beide Katheten und die Hypotenuse
ganzzahlige Werte besitzen. Diese heißen pythagoräische Tripel. Es gibt nur ein
einziges pythagoräisches Tripel, bei dem eine der drei Seitenlängen den Wert 4
besitzt. Dies soll nachgewiesen werden.
Durchführung:
(Skizze in Verbindung mit) systematischen Probieren:
Angenommen die Hypotenuse besitzt den Wert 4.
Die beiden Katheten müssen dann auf jeden Fall kleiner als 4 sein, es könnten alle möglichen
Kombinationen der Seitenlängen 1, 2 und 3 ausprobiert werden und überprüft werden, ob die
zugehörige Hypotenuse die Länge 4 besitzt (über den Satz des Pythagoras: a2 + b2 = 42 = 16)
| a | b | a2 | b2 | c2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 1 | 4 | 5 |
| 1 | 3 | 1 | 9 | 10 |
| 2 | 3 | 4 | 9 | 13 |
| 3 | 3 | 9 | 9 | 18 |
Keine Kombination der Seitenlängen 1, 2 und 3 gehört zu einem pythagoreischen Tripel.
D.h. eine der beiden Katheten muss den Wert 4 besitzen. Aus dem Satz des Pythagoras folgt
42 +b2 = c2 bzw. c2 – b2 = 16. Sind alle Seiten ganzzahlig, so suchen wir zwei ganzzahlige Quadratzahlen,deren Differenz 16 ergibt. Systematisches Probieren zeigt
| c | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| c2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| c2 - b2 | 4-1=3 | 9-4=5 | 16-9=7 | 25-16=9 | 36-25=11 | 49-36=13 | 64-49=15 | 81-64=17 | Noch größer | |
| 9-1=8 | 16-4=12 | 25-9=16 | 36-16=20 | Noch größer | ||||||
| 16-1=15 | 25-4=21 | Noch größer | ||||||||
| 25-1=4 | Noch größer |
Bildet man die Differenz aus zwei Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...) so entsteht niemals
der Wert 42 = 16, außer im Fall 25 – 9 = 16.
Reflexion:
Es gibt tatsächlich nur ein einziges pythagoreisches Tripel, bei dem eine Seitenlänge den Wert 4
besitzt, nämlich a = 3, b = 4 und c = 5.