Wiki-Quellcode von BPE 3.4 Polynomgleichungen

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/04/01 21:32

version	line-number	content
12.1	1	{{seiteninhalt/}}
1.1	2
5.1	3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
	4	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
	5	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
30.1	6	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
	7	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
	8	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
7.1	9
59.2	10	{{lernende}}
	11	KMap [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
	12	{{/lernende}}
	13
51.1	14	{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
55.1	15	Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
39.1	16	(% class="abc" %)
	17	1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
	18	1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
	19	1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
40.1	20	1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}
44.1	21	1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}
	22	1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}
7.1	23	{{/aufgabe}}
	24
52.1	25	{{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}
55.1	26	Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
44.1	27	{{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}
	28	{{/aufgabe}}
	29
55.1	30	{{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]
53.1	31	Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}
55.1	32	Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.
10.1	33	{{/aufgabe}}
7.1	34
55.1	35	{{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
13.1	36	Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}} g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.
7.1	37
13.1	38	Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.
7.1	39	{{/aufgabe}}
	40
55.3	41	{{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
19.1	42	Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
21.1	43	Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
7.1	44	{{/aufgabe}}
	45
56.3	46	{{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}
16.1	47	Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
	48
28.1	49	a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
	50	b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
16.1	51	{{/aufgabe}}
	52
56.2	53	{{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
28.1	54	Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
17.1	55	{{/aufgabe}}
	56
57.3	57	{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
	58	(% class="abc" %)
57.44	59	1. ((({{{ }}}
57.43	60
57.33	61	{{formula}}
	62	\begin{align*}
57.35	63	\square x^3+\square &= 0\\
	64	\square x^3 &=\square\quad \left\| :2\\
57.36	65	x^3 &= \square \\
	66	x &= -2
57.33	67	\end{align*}
	68	{{/formula}}
57.3	69	)))
57.45	70	1. ((({{{ }}}
57.46	71
57.33	72	{{formula}}
57.27	73	\begin{align*}
57.31	74	2x^3+\square x^2 &= 0 \\
57.32	75	\square (x-\square) &= 0 \left\|\left\| \text{ SVNP }
	76	\end{align*}
57.27	77	{{/formula}}
57.32	78
57.37	79	{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
57.3	80	)))
57.46	81	1. ((({{{ }}}
57.42	82
57.33	83	{{formula}}\begin{align*}
59.1	84	x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left\|\left\|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
	85	z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left\|\left\|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
57.15	86	\end{align*}
57.17	87	{{/formula}}
57.18	88
57.17	89	{{formula}}
57.15	90	\begin{align*}
60.1	91	\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
57.21	92	z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
57.19	93	\end{align*}
	94	{{/formula}}
	95
	96	{{formula}}
	97	\begin{align*}
57.20	98	&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
	99	&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
	100	&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
57.7	101	\end{align*}
	102	{{/formula}})))
57.3	103	{{/aufgabe}}
	104
35.1	105	{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
37.1	106	Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
36.1	107	Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
	108	Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
35.1	109	Paul möchte beide Seiten mit {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.
36.1	110	Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
35.1	111	{{/aufgabe}}
	112
34.1	113	{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
	114	Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}
	115	(% class="abc" %)
	116	1. Löse die Ungleichung graphisch
38.1	117	1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
34.1	118	{{/aufgabe}}
	119
37.1	120	{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
	121	Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}
	122	{{/aufgabe}}
	123
59.3	124	{{lehrende}}
	125	K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
	126	Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
	127	{{/lehrende}}
57.1	128
	129	{{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}