BPE 3.4 Polynomgleichungen

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen

[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren

8

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen

9

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11

**KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]

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14

{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}

15

Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:

16

(% class="abc" %)

17

1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}

18

1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}

19

1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}

20

1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}

21

1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}

22

1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}

23

24

25

{{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}

26

Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.

27

{{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}

28

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30

{{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]

31

Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}

32

Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.

33

34

35

{{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}

36

Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}} g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.

37

38

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.

39

40

41

{{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}

42

Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.

43

Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.

44

45

46

{{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}

47

Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:

48

49

a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.

50

b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.

51

52

53

{{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}

54

Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.

55

56

57

{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}

(% class="abc" %)

1. ((({{{ }}}

\begin{align*}

\square x^3+\square &= 0\\

64

\square x^3 &=\square\quad \left| :2\\

x^3 &= \square \\

x &= -2

\end{align*}

)))

1. ((({{{ }}}

\begin{align*}

2x^3+\square x^2 &= 0 \\

75

\square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }

\end{align*}

{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}

)))

1. ((({{{ }}}

{{formula}}\begin{align*}

84

x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\

85

z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &

\end{align*}

\begin{align*}

\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\

92

z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}

\end{align*}

\begin{align*}

&\text{Resubst.: } \square := x^2\\

99

&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\

100

&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2

\end{align*}

{{/formula}})))

{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}

106

Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}

107

Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.

108

Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.

109

Paul möchte beide Seiten mit {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.

110

Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.

111

112

113

{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}

114

Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}

115

(% class="abc" %)

116

1. Löse die Ungleichung graphisch

117

1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.

118

119

120

{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}

121

Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}

K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.

126

Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.

127

128

129

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		3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
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		11	KMap [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
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		14	{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
		15	Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
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