Lösung Anwendung drei Verfahren
Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\). Untersuche, für welche Werte von \(x\) die Ungleichung \(f(x) \le 0\) gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
Lösungsschritte:
- Tabellarisches Verfahren:
Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige \(x\)-Werte:
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(4\) | \(11\) | \(12\) | \(6\) | \(0\) | \(0\) | \(20\) | \(52\) |
An der Tabelle erkennen wir:
- Bei \(x = -3\) liegt eine Nullstelle vor.
- Zwischen \(x = 2\) und \(x = 3\) gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
- Zwischen \(x = 2\) und \(x = 3\) gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
- Zwischen \(x = 1\) und \(x = 2\) liegt eine weitere Nullstelle.
→ Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
-
2. Graphisches Verfahren:
Die Funktion \(f\) ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
- \(f(-3) = 0\), also eine Nullstelle bei \(x = -3\),
- positiv wird bei \(x = -2\) und darüber hinaus,
- erneut \(f(2) = 0\), sowie \(f(3) = 0\).
→ Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
-
3. Rechnerisches Verfahren:
Gegeben:
Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir \(x = 2\):
\(f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0\) → Nullstelle gefunden.
Polynomdivision von \(f(x)\) durch \(x - 2\) ergibt:
Nun faktorisieren wir das Quadrat:
→ Die vollständige Faktorisierung lautet:
Nullstellen:
\(x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3\)
Nun analysieren wir das Vorzeichen von \(f(x)\) in den Intervallen:
| Intervall | Testwert | Vorzeichen von \(f(x)\) | |
| - | |||
| \(x < -2\) | \(x = -3\) | \(f(-3) = 0 \Rightarrow \text{neg.} | | {{formula}}-2 < x < 2{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(0) = 12 > 0{{/formula}} | | {{formula}}2 < x < 3{{/formula}} | {{formula}}x = 2.5{{/formula}}| {{formula}}f(2.5) < 0{{/formula}} (direkt berechnet) | | {{formula}}x > 3{{/formula}} | {{formula}}x = 4{{/formula}} | {{formula}}f(4) = 20 > 0{{/formula}} | **Gesucht war:** {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} → also alle x-Werte, bei denen der Funktionswert kleiner oder gleich null ist. Daraus ergibt sich: **Lösungsmenge:** **L** = {{formula}}[-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}} --- **Zusammenfassung:** - Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe. - Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen. - Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge. {{/loesung}}\) |