Lösung Anwendung drei Verfahren
Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion mit
. Untersuche, für welche Werte von
die Ungleichung
gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
Lösungsschritte:
- Tabellarisches Verfahren:
Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige -Werte:
An der Tabelle erkennen wir:
- Bei liegt eine Nullstelle vor.
- Zwischen und
gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
- Zwischen und
gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
- Zwischen und
liegt eine weitere Nullstelle.
→ Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
-
2. Graphisches Verfahren:
Die Funktion ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
- , also eine Nullstelle bei
,
- positiv wird bei und darüber hinaus,
- erneut , sowie
.
→ Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
-
3. Rechnerisches Verfahren:
Gegeben:
Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir :
→ Nullstelle gefunden.
Polynomdivision von durch
ergibt:
Nun faktorisieren wir das Quadrat:
→ Die vollständige Faktorisierung lautet:
Nullstellen:
Nun analysieren wir das Vorzeichen von in den Intervallen:
| Intervall | Testwert | Vorzeichen von | |
| - | |||
| | | |