BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

Aufgabe 1  Exponentialfunktion 𝕃

Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.

Aufgabe 2  e-Funktion im Vergleich

Gegeben ist der Graph zu . Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von  und  verlaufen.
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)

Aufgabe 3  Graphen

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für x<0.
              

Aufgabe 4  Negative Basis 𝕋  𝕃

1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.

x	2	1	0	-1	-2	-1,5

1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen ,  definiert werden.

Aufgabe 5  Basiswechsel verstehen 𝕃

Gegeben ist die Funktion  mit . Gib die Funktionsgleichung in der Form  mit einem geeigneten k an.

Aufgabe 6  Basiswechsel 𝕃

Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.

1. , neue Basis
2. , neue Basis
3. , neue Basis

Aufgabe 7  Eulersche Zahl

Gegeben sind die Zahlterme

1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne .
2. Die eulersche Zahl  ist gegeben durch . D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl  auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl  so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.

Aufgabe 8  Exponentialfunktion 𝕃

Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.  

1. \( \frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1 \)  
2. \( \frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1 \)

Aufgabe 9  e-Funktion im Vergleich

Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \( f = e^x \).  
Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \( g = 2^x \) und \( h = 3^x \) im Vergleich zum Graphen von \(f\).  

Aufgabe 10  Graphen

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.  
Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \( x < 0 \).  

\( f = 1 + 2x \), \( g = 1 + x^2 \), \( h = \left(\frac{1}{2}\right)^x \),  
\( i = \frac{1}{(x+1)^2} \), \( j = 2^x \), \( k = 1 \)  

Aufgabe 11  Negative Basis 𝕋  𝕃

1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.  

1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \( q > 0 \), \( q \ne 1 \) definiert werden.

Aufgabe 12  Basiswechsel verstehen 𝕃

Gegeben ist die Funktion \( f = 2^x \).  
Gib die Funktionsgleichung in der Form \( f = 4^{kx} \) mit geeignetem \( k \) an.

Aufgabe 13  Basiswechsel 𝕃

Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.  

1. \( f = \left(\frac{1}{4}\right)^x \), neue Basis \( b = 2 \)  
2. \( f = 9^x \), neue Basis \( b = \frac{1}{3} \)  
3. \( f = 5^{2x+1} \), neue Basis \( b = 25 \)

Aufgabe 14  Eulersche Zahl

Gegeben sind die Zahlterme:  
\( a_1 = 2 \)  
\( a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} \)  
\( a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \)  
\( a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \)  

1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \( a_5, a_6 \).  
2. Die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e \) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.

Aufgabe 15  Natürliche Basis anschaulich

Gegeben ist die Funktion \( f = q^x \).  

Berechne für verschiedene Werte von \( q \in \{2;\ 2{,}5;\ 3;\ e\} \) den Funktionswert an der Stelle \( x = 0 \) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0,\ 0{,}1]\).  

1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.  
2. Welche Besonderheit stellst du für \( q = e \) fest?  
3. Erkläre, warum man \( e \) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.