BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

1  Exponentialfunktion  (2 min) 𝕃

Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.

1. \(\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1\)
2. \(\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1\)

2  e-Funktion im Vergleich  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph zu \(f(x)=e^x\). Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von \(g(x)=2^x\) und \(h(x)=3^x\) verlaufen.
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)

3  Graphen  (8 min) 𝕃

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für x<0.
\(f(x)=1+2x\)   \(g(x)=1 + x^2\)   \(h(x)=(\frac{1}{2})^x\)   \(i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\)   \(j(x)=2^x\)   \(k(x)=1\)

4  Negative Basis  (4 min) 𝕋  𝕃

1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.

1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen \(q>0\), \(q\ne 1\) definiert werden.

5  Basiswechsel verstehen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=2^x\). Gib die Funktionsgleichung in der Form \(f(x)=4^{kx}\) mit einem geeigneten k an.

6  Basiswechsel  (10 min) 𝕃

Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.

1. \(f(x)=(\frac{1}{4})^x\), neue Basis \(b=2\)
2. \(f(x)=9^x\), neue Basis \(b=\frac{1}{3}\)
3. \(f(x)=5^{2x+1}\), neue Basis \(b=25\)

7  Eulersche Zahl  (6 min) 𝕃

Gegeben sind die Zahlterme
\(a_1=2\)
\(a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}\)
\(a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\)
\(a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\)

1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne \( a_5, a_6\).
2. Die eulersche Zahl \( e\) ist gegeben durch \( e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...\). D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl \( e\) auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl \( e\) so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.

8  Exponentialfunktion  (2 min) 𝕃

Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.  

1. \( \frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1 \)  
2. \( \frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1 \)

9  e-Funktion im Vergleich  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \( f = e^x \).  
Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \( g = 2^x \) und \( h = 3^x \) im Vergleich zum Graphen von \(f\).  

10  Graphen  (8 min) 𝕃

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.  
Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \( x < 0 \).  

\( f = 1 + 2x \), \( g = 1 + x^2 \), \( h = \left(\frac{1}{2}\right)^x \),  
\( i = \frac{1}{(x+1)^2} \), \( j = 2^x \), \( k = 1 \)  

11  Negative Basis  (4 min) 𝕋  𝕃

1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.  

1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \( q > 0 \), \( q \ne 1 \) definiert werden.

12  Basiswechsel verstehen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion \( f = 2^x \).  
Gib die Funktionsgleichung in der Form \( f = 4^{kx} \) mit geeignetem \( k \) an.

13  Basiswechsel  (10 min) 𝕃

Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.  

1. \( f = \left(\frac{1}{4}\right)^x \), neue Basis \( b = 2 \)  
2. \( f = 9^x \), neue Basis \( b = \frac{1}{3} \)  
3. \( f = 5^{2x+1} \), neue Basis \( b = 25 \)

14  Eulersche Zahl  (6 min) 𝕃

Gegeben sind die Zahlterme:  
\( a_1 = 2 \)  
\( a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} \)  
\( a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \)  
\( a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \)  

1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \( a_5, a_6 \).  
2. Die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e \) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.

15  Natürliche Basis anschaulich  (5 min)

Gegeben ist die Funktion \( f = q^x \).  

Berechne für verschiedene Werte von \( q \in \{2;\ 2{,}5;\ 3;\ e\} \) den Funktionswert an der Stelle \( x = 0 \) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0,\ 0{,}1]\).  

1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.  
2. Welche Besonderheit stellst du für \( q = e \) fest?  
3. Erkläre, warum man \( e \) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.