Lösung Dreieck Koordinaten
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/02/05 15:27
Gegeben sind die Punkte \( A(5|0|a)\) und \(B(2|4|5)\). Der Koordinatenursprung wird mit \(O\) bezeichnet.
a) Bestimme denjenigen Wert von \(a\), für den \(A\) und \(B\) den Abstand 5 haben.
Ansatz: \(|\vec{AB}|=5\)
\[\begin{align*}
\Rightarrow &\: \left| \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 5\\0\\a \end{array}\right) \right| &= 5 \\
\Rightarrow &\: \left| \left(\begin{array}{c} -3\\4\\5-a \end{array}\right) \right| &= 5 \\
\Rightarrow &\: \sqrt{(-3)^2+4^2+(5-a)^2} &= 5 |\: \uparrow 2\\
\Rightarrow &\: 9+16+25-10a+a^2 &= 25 |\: -25\\
\Rightarrow &\: 25-10a+a^2 &= 0 \\
\Rightarrow &\: (5-a)^2 &= 0 \\
\Rightarrow &\: a=5 \\
\end{align*}\]
b) Ermittle denjenigen Wert von \(a\), für den das Dreieck \(OAB\) im Punkt \(B\) rechtwinklig ist.
Ansatz: \(\vec{AB}\circ\vec{OB}=0\)
\[\begin{align*}
\Rightarrow &\: \left(\left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 5\\0\\a \end{array}\right)\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) &= 0 \\
\Rightarrow &\: \left(\begin{array}{c} -3\\4\\5-a \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) &= 0 \\
\Rightarrow &\: -3\cdot2+4\cdot4+(5-a)\cdot5 &= 0\\
\Rightarrow &\: -6+16+25-5a &= 0 |\: +5a\\
\Rightarrow &\: 35 &= 5a \\
\Rightarrow &\: a=7 \\
\end{align*}\]