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Lösung Dreieck Koordinaten

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/02/05 16:27

Gegeben sind die Punkte A(5|0|a) und B(2|4|5). Der Koordinatenursprung wird mit O bezeichnet.

a) Bestimme denjenigen Wert von a, für den A und B den Abstand 5 haben.

Ansatz: |\vec{AB}|=5

\begin{align*} \Rightarrow &\: \left| \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 5\\0\\a \end{array}\right) \right| &= 5 \\ \Rightarrow &\: \left| \left(\begin{array}{c} -3\\4\\5-a \end{array}\right) \right| &= 5 \\ \Rightarrow &\: \sqrt{(-3)^2+4^2+(5-a)^2} &= 5 |\: \uparrow 2\\ \Rightarrow &\: 9+16+25-10a+a^2 &= 25 |\: -25\\ \Rightarrow &\: 25-10a+a^2 &= 0 \\ \Rightarrow &\: (5-a)^2 &= 0 \\ \Rightarrow &\: a=5 \\ \end{align*}

b) Ermittle denjenigen Wert von a, für den das Dreieck OAB im Punkt B rechtwinklig ist.

Ansatz: \vec{AB}\circ\vec{OB}=0

\begin{align*} \Rightarrow &\: \left(\left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 5\\0\\a \end{array}\right)\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) &= 0 \\ \Rightarrow &\: \left(\begin{array}{c} -3\\4\\5-a \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) &= 0 \\ \Rightarrow &\: -3\cdot2+4\cdot4+(5-a)\cdot5 &= 0\\ \Rightarrow &\: -6+16+25-5a &= 0 |\: +5a\\ \Rightarrow &\: 35 &= 5a \\ \Rightarrow &\: a=7 \\ \end{align*}