BPE 7.2 Addition, Skalare Multiplikation, Betrag, Abstand, Strecke

Version 40.2 von Frauke Beckstette am 2024/02/05 16:38

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Inhalt

AFB I Vektor Vektoraddition gleichschenkliges Dreieck Saarpolygon
AFB II 3D-Koordinatensystem Vektoren Sechseck Parallelogramm
AFB III Nachweis Dreieck Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt

Vektoren

K5 Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren verwenden
K4 Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren geometrisch deuten
K5 Ich kann den Betrag eines Vektors berechnen
K6 K5 Ich kann den Betrag eines Vektors als seine Länge interpretieren
K5 Ich kann Vektoren zur Bestimmung von Teilpunkten einer Strecke verwenden

Vektoren

Aufgabe 1 Vektor 𝕋 𝕃

Der Vektor $\vec{a}= \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right)$ verläuft parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.
Zusätzlich soll gelten: $\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) + \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0,5 \\ d \end{array}\right)$ .
Bestimme den Wert von d.

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Vektoraddition

Gegeben sind die Punkte A(3|1|5) , B(5|2|4) und C(8|7|1) .
Berechne die Koordinaten von einem Punkt D(d_1|d_2|d_3) , wobei gilt: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{o}$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 3D-Koordinatensystem (eAN)

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der x_1x_2 -Ebene liegt. M(8|5|10) ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

Weise nach, dass der Punkt auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.
Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt den kleinsten Abstand von , der Punkt den größten. Gib die Koordinaten von an und bestimme die Koordinaten von .

#iqb

AFB II	Kompetenzen K1 K2 K5	Bearbeitungszeit k.A.
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Aufgabe 4 Vektoren Sechseck (gAN) 𝕃

Im abgebildeten Sechseck ABCDEF sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.

a) Stelle die Vektoren $\Vec{x}$ und $\Vec{y}$ jeweils mithilfe der Eckpunkte des Sechsecks dar.

b) Stelle den Vektor $\overrightarrow{FB}$ mithilfe der Vektoren $\Vec{a}, \Vec{b}, \Vec{c}, \Vec{d}, \Vec{e}$ und $\Vec{f}$ dar.

c) Der Punkt hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten x_1 = 6, x_2 = 2 und x_3=-4 Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ wird mit bezeichnet. Der Punkt K(2|0|8) ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AM}$ . Ermittle die Koordinaten von .

#iqb

AFB II	Kompetenzen K2 K4 K5	Bearbeitungszeit k.A.
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Aufgabe 5 Nachweis Dreieck (gAN) 𝕋 𝕃

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|2|5) , B(2|7|8) und C(-3|2|4) gegeben.

Weise nach, dass und Eckpunkte eines Dreiecks sind.
Für jede reelle Zahl ist ein Punkt $D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2})$ gegeben. Bestimme alle Werte von , für die die Strecke von nach die Länge 2 hat.

#iqb

AFB III	Kompetenzen K1 K2 K5	Bearbeitungszeit k.A.
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Aufgabe 6 gleichschenkliges Dreieck (eAN) 𝕋

Gegeben sind die Punkte A(5|-5|12) , B(5|5|12) und C(-5|5|12) .

a) Zeige, dass das Dreieck A, B, C gleichschenklig ist.

b) Begründe, dass A, B und Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunktes dieses Quadrats an.

#iqb

AFB I	Kompetenzen K1 K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle IQB		Lizenz k.A.

Aufgabe 7 Saarpolygon (eAN) 𝕃

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ mit A(11|11|0) , B(-11|11|28) , C(11|-11|28) und D(-11|-11|0) besteht (vgl. Abbildung 2). A, B, C und sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

a) Begründe, dass die Punkte und symmetrisch bezüglich der x_3 -Achse liegen.
b) Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

#iqb

AFB I	Kompetenzen K1 K3 K4 K5	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle IQB		Lizenz k.A.

Aufgabe 8 Parallelogramm 𝕋 𝕃

Gegeben sind die Punkte A(1|2|3) , B(4|6|4) , C(2|9|6) und D(-1|5|5) .
a) Zeige, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.
b) Der Punkt liegt auf der Strecke $\overline{BD}$ . Berechne die Koordinaten des Punktes so, dass er die Strecke $\overline{BD}$ im Verhältnis 1:4 teilt.

AFB II	Kompetenzen K1 K2 K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Beckstette, Lautenschlager		Lizenz CC BY-SA

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