Erwartungshorizont
Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\): \(\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\)
Flächeninhalt des Trapezes \(ABCD\):\(\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\)
Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.Erläuterung der Lösung
Da \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\) gegeben ist, kann der Gegenvektor von \(\overrightarrow{AB}\) zweimal an \(C\) angehängt werden, um zu \(D\) zu gelangen:
Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
\(A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h\)
(die Hälfte der Länge der Grundseite \(g\) mal der Länge der Höhe \(h\)) berechnet werden:
\(A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\)
Für den Flächeninhalt des Trapezes \(ABCD\) gilt (wie für jedes Trapez) die Formel\(A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h\)
(der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
In unserem Fall:\(A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h\)
Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:\(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|\)
Also können wir \(\left|\overline{CD}\right|\) in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch \(2\cdot\left|\overline{AB}\right|\): \(A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h\)
Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus: \(A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\)
Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
\(A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\)
erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks \(ABC\) zum Inhalt der Fläche des Trapezes \(ABCD\) ist somit 1:3.