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Lösung Flächeninhalte Verhältnis

Version 3.2 von akukin am 2024/10/18 19:57
Erwartungshorizont

Flächeninhalt des Dreiecks ABC: \frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h

Flächeninhalt des Trapezes ABCD:

\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h

Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
Erläuterung der Lösung Da \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB} gegeben ist, kann der Gegenvektor von \overrightarrow{AB} zweimal an C angehängt werden, um zu D zu gelangen: TrapezErgänzung.PNG Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h
(die Hälfte der Länge der Grundseite g mal der Länge der Höhe h) berechnet werden:

A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h

Für den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h

(der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).

In unserem Fall:

A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h

Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|
Also können wir \left|\overline{CD}\right| in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch 2\cdot\left|\overline{AB}\right|: A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h
Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus: A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h
Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h

erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.

Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks ABC zum Inhalt der Fläche des Trapezes ABCD ist somit 1:3.