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Version 72.1 von Martina Wagner am 2026/02/03 12:21
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mittels erster und zweiter Ableitung das lokale Verhalten einer Funktion untersuchen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe notwendiger und hinreichender Kriterien lokale Extrem- und Wendepunkte ermitteln
5 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann lokale Extrem- und Wendepunkte nutzen, um Funktionsgraphen zu zeichnen
6 [[Kompetenzen.K6]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Zusammenhänge der Graphen von //f//, //f'// und //f''// beschreiben
7 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann Wendepunkte als Punkte mit größter bzw. kleinster Steigung interpretieren
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9 {{aufgabe id="Fremdsprache Mathematik" afb="I" kompetenzen="K4, K6" quelle="Martina Wagner" zeit="7"}}
10 Ergänze folgende Tabelle:
11 (%class="border"%)
12 |=Symbolsprache|=Übersetzung|=Bedeutung für den Graphen
13 |{{formula}}f(2)=4{{/formula}}||
14 |{{formula}}f'(0)=0{{/formula}}
15 {{formula}}f''(0)=0{{/formula}}
16 {{formula}}f'''(0)\neq 0{{/formula}}||
17 |||Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung
18 ||Für {{formula}}x\rightarrow\infty{{/formula}} folgt {{formula}}f(x)\rightarrow\infty{{/formula}}|
19 {{/aufgabe}}
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21 {{aufgabe id="Extrem- und Wendestellen aus Wertetabellen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="HT 2020 Analysis Teil A" zeit="7"}}
22 Die folgende Tabelle enthält Funktionswerte und Werte der ersten beiden Ableitungen einer Polynomfunktion //h// vom Grad //4//. Das Schaubild von //h// ist //K//.
23 (%class="border" style="text-align:center"%)
24 |x|-1,5|-1|-0,5|0|0,5|1|1,5
25 |{{formula}}h(x) {{/formula}}|2,375|-2|-1,625|-1|-1,625|-2|2,375
26 |{{formula}}h'(x) {{/formula}}|-18|-2|2|0|-2|2|18
27 |{{formula}}h''(x) {{/formula}}|48|18|0|-6|0|18|48
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29 Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung, ohne Funktionsterme zu berechnen.
30 1. //P(-1|2)// liegt auf //K//.
31 1. //K// besitzt zwei Wendepunkte
32 1. //K// besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente
33 {{/aufgabe}}
34
35 {{aufgabe id="Extremstellen und Extrempunkte bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5,K1" quelle="Caroline Leplat" zeit="5"}}
36 Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+\frac{4}{3}x^3{{/formula}}
37 (%class=abc%)
38 1. Gib alle Stellen an, an der die Funktion mögliche Extremstellen besitzt und begründe, warum eine der Stellen keine Extremstelle ist.
39 1. Berechne den Hoch- und Tiefpunkt des Schaubilds der Funktion //f//.
40 {{/aufgabe}}
41
42 {{aufgabe id="Innermathematisch A" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Tobias Großmann" zeit="4"}}
43 Gegeben ist eine Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=x^3-6x^2+9x{{/formula}}.
44 (%class=abc%)
45 1. Zeige, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} einen Extrempunkt besitzt, der auf der {{formula}}x{{/formula}}-Achse liegt.
46 1. Berechne die minimale momentane Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}}.
47 {{/aufgabe}}
48
49 {{aufgabe id="Querschnitt eines Kanals" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K5,K6" quelle="modifiziert Abitur 2019 Anwendungsorientierte Analysis" zeit="6"}}
50 Ein Ingenieurbüro plant den Bau eines 15 Meter (m) langen, geraden Kanals, der einen gleichbleibenden Querschnitt aufweist. Das Koordinatensystem wird im Modell so gelegt,dass T(0|0) den tiefsten Punkt des Querschnitts darstellt. Die
51 Randkurve des Querschnitts wird beschrieben durch die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=\frac{-1}{16}x^4 + \frac{3}{4}x^2{{/formula}}, wobei x im Bereich der Breite des Kanals liegt und ebenso wie {{formula}} f(x){{/formula}} in Meter gemessen wird.
52 (%class=abc%)
53 1. Berechne den höchstmöglichen Wasserstand des Kanals.
54 1. Gib die maximale Breite des Kanals an.
55 {{/aufgabe}}
56
57 {{aufgabe id="Aussagen Polynomfunktion" afb="II" kompetenzen="K1, K4" quelle="KMap" zeit="5"}}
58 Welche der nachfolgenden Aussagen sind wahr? Begründe deine Wahl!
59 Eine Polynomfunktion 3. Grades...
60 ☐ hat immer zwei Extrempunkte!
61 ☐ kann auch mal nur einen Extrempunkt haben!
62 ☐ kann auch mal keinen Extrempunkt haben!
63 ☐ hat immer genau einen Wendepunkt!
64 ☐ hat entweder einen Sattelpunkt oder zwei Extrempunkte!
65 {{/aufgabe}}
66
67 {{aufgabe id="Aussagen Sattelstelle" afb="II" kompetenzen="K1, K4" quelle="KMap" zeit="5"}}
68 Welche der nachfolgenden Aussagen über Sattelstellen sind wahr? Begründe deine Wahl!
69 ☐ Eine Sattelstelle hat eine waagrechte Tangente.
70 ☐ An einer Sattelstelle hat die Steigungsfunktion ein Maximum oder ein Minimum.
71 ☐ An einer Sattelstelle gibt es immer auch einen Krümmungswechsel.
72 ☐ Eine Sattelstelle ist auch eine Wendestelle.
73 ☐ Eine Sattelstelle kann auch eine Maximalstelle sein.
74 {{/aufgabe}}
75
76 {{aufgabe id="Zuordnung" afb="I" kompetenzen="K4,K6" quelle="Holger Engels, Kim Fujan" zeit="5"}}
77 [[image:Zuordnung.svg||style="float:right;width:450px"]]Die Schaubilder gehören zu den Funktionen {{formula}}f{{/formula}}, {{formula}}f'{{/formula}} und {{formula}}f''{{/formula}}. Ordne zu und begründe Deine Zuordnung.
78 {{/aufgabe}}
79
80 {{aufgabe id="trigonometrische Funktionen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Martina Wagner" zeit="7"}}
81 Bestimme jeweils eine mögliche trigonometrische Funktion, die diese Eigenschaften erfüllt, wobei W für Wendepunkt, H für Hochpunkt und T für Tiefpunkt steht.
82 (%class="border" style="text-align:center"%)
83 |Eigenschaft(en) |Funktionsterm
84 |{{formula}}W(0|0) {{/formula}}|
85 |{{formula}}W(0|0){{/formula}} und {{formula}} H(1|1){{/formula}}|
86 |{{formula}}T(0|0){{/formula}} und {{formula}} W(1|1){{/formula}}|
87 |{{formula}}W(1|1){{/formula}} und {{formula}} H(4|4){{/formula}}|
88 {{/aufgabe}}
89
90 {{aufgabe id="Verknüpfte Funktionen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martina Wagner" zeit="10"}}
91 Gegeben sind die beiden Funktionen g und h.
92 (%class="border" style="text-align:center"%)
93 |Funktionsterm |{{formula}}g(x)= (2x-1)\cdot e^{2x-1}{{/formula}}| {{formula}}h(x)=-2x+1+e^{2x-1}{{/formula}}
94 |Erste Ableitung|{{formula}}g'(x)= 4x\cdot e^{2x-1}{{/formula}}|
95 |Zweite Ableitung||{{formula}}h''(x)=4e^{2x-1}{{/formula}}
96
97 (%class=abc%)
98 1. Bestimme die fehlenden Eintragungen der Tabelle.
99 1. Beurteile, ob folgende Aussage wahr ist: An der Stelle, an der der Graph von h einen Tiefpunkt hat, hat der Graph von g seinen Wendepunkt.
100
101 {{/aufgabe}}
102
103 {{aufgabe id="Verkettete Funktion" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Martina Wagner" niveau= "e" zeit="5"}}
104 Von einer Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist die erste Ableitung gegeben mit {{formula}}f'(x)=({sin(0,5\pi x)})^2{{/formula}}.
105 Untersuche, ob der Graph von f eine Extremstelle im Intervall [0;4] besitzt.
106 {{/aufgabe}}
107
108 {{aufgabe id="Ableitungsfunktion gegeben" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Martina Wagner, Holger Engels" niveau= "e" zeit="7"}}
109 Von einer Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist die erste Ableitung gegeben mit {{formula}}g'(x)=e^{-x^2+2x}(-2x+2){{/formula}}.
110 Bestimme die Koordinaten der Wendepunkte.
111 {{/aufgabe}}
112
113 {{aufgabe id="Nullstellen der Ableitungsfunktionen" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
114 Gegenstand der Betrachtung sei eine Polynomfunktion //f//, ihre ersten beiden Ableitungen und ihr Graph //K,,f,,// an der Stelle //x,,0,,//. Gib für jedes Kästchen an, ob es sich um eine Extremstelle (ES), Wendestelle (WS), Sattelstelle (SS), einen normalen Kurvenpunkt (╱) handelt, oder ob die Kombination evtl. widersprüchlich ist (↯).
115 (%class="border" style="text-align:center"%)
116 |(%colspan=2 rowspan=2 style="vertical-align:middle"%)an der Stelle
117 //x,,0,,// hat|(%colspan=3%){{formula}}f'{{/formula}}
118 |(%width=90%)keine NS|NS mit VZW|NS ohne VZW
119 |(%rowspan=3 style="vertical-align:middle"%){{formula}}f''{{/formula}}|keine NS|||
120 |NS mit VZW|||
121 |NS ohne VZW|||
122 {{/aufgabe}}
123
124 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}