Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium \( f'(x)>0 \) für alle x verletzen.
- Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: \( a<b \Rightarrow f(a)>f(b)\) , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen x-Wert mit negativer Steigung haben.
- Sobald ein ganzes Intervall \( [a,b]\) (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: \( a<b \Rightarrow f(a)=f(b)\) , und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.
- Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter x-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man \( f(x)=x^3 \) an der Stelle \( x=0 \) betrachten.)
Wegen a<b muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um x betrachtet werden. Da außer x alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt \( f(a)<f(b){{formula}} , und //f// bleibt streng monoton steigend. Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen. Die Aussage ist also wahr, z. B. für {{formula}} x=0{{/formula}} bei //f// mit {{formula}} f(x)=x^3{{/formula}} . __Bemerkung:__ Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen. __ Weitere Bemerkung:__ Man kann auch durch Aufleitung von f‘ argumentieren: Für alle a<b gilt \int_{a}^{b}{f^\prime\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)>0}, denn der Graph K von f\prime bildet in jedem Intervall [a;b] eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt f\left(b\right)>f(a).\)