Lösung Monotonie
Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/20 10:25
Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium für alle x verletzen.
- Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt:
, weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen x-Wert mit negativer Steigung haben.
- Sobald ein ganzes Intervall
(und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall:
, und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.
- Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter x-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man
an der Stelle
betrachten.)
Wegenmuss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um x betrachtet werden. Da außer x alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt
, und f bleibt streng monoton steigend.
Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.
Die Aussage ist also wahr, z. B. für bei f mit
.
Bemerkung: Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.
Weitere Bemerkung: Man kann auch durch Aufleitung von argumentieren: Für alle
gilt
, denn der Graph K von
bildet in jedem Intervall
eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt
.