Lösung Monotonie

Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium \( f'(x)>0 \) für alle x verletzen.

• Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: \( a<b \Rightarrow f(a)>f(b)\) , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
  Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen x-Wert mit negativer Steigung haben.

• Sobald ein ganzes Intervall \( [a,b]\)  (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: \( a<b \Rightarrow f(a)=f(b)\) , und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
  Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.

• Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter x-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man \( f(x)=x^3 \) an der Stelle \( x=0 \) betrachten.)
  Wegen \(a<b\) muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um x betrachtet werden. Da außer x alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt \( f(a)<f(b)\) , und f bleibt streng monoton steigend.
  Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.

Die Aussage ist also wahr, z. B. für \( x=0\)  bei f mit \( f(x)=x^3\) .

Bemerkung: Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.

Weitere Bemerkung: Man kann auch durch Aufleitung von \(f'\) argumentieren: Für alle \(a<b\) gilt \(\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)>0\), denn der Graph K von \(f'\) bildet in jedem Intervall \([a,b] \)eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt  \( f(b)<f(a)\) .