BPE 13.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Bestimmtes Integral
K1 Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung mithilfe der Integralfunktion geometrisch sowie anschaulich als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff erläutern. e
K5 Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen
K5 Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von Integrationsgrenzen bei gegebenem Integralwert nutzen
1 Integralfunktion (30 min) 𝕃
Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion \(I_a\) einer Funktion f auch Stammfunktion derselben Funktion f ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
- Paul behauptet, dies sei für jede Funktion f der Fall.
- Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die keine Integralfunktionen sind.
- Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.
Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von f auch Stammfunktion von f ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
| AFB III - K2 K1 K5 | Quelle Dr. Andreas Dinh | #problemlösen |
2 Integrale berechnen (15 min) 𝕃
- Berechne das Integral der Funktion \(f(x) = x^3-2x^2\). Die Grenzen des Integrals sind die beiden Nullstellen. Der Graph der Funktion ist rechts abgebildet.
- Berechne das Integral der folgenden Funktion im Intervall I[0;3]\(g(x) = 2e^{(-3x+1)}\).
- Berechne das Integral von h(x) im Intervall I[0;3].
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| h(x) | 1,5 | 0 | -1,5 | 0 | 7,5 | 24 |
| H(x) | 2,13 | 3 | 2,13 | 1 | 4,13 | 19 |
| AFB I - K5 | Quelle Benjamin Kaiser, Debora Kemm |
3 HDI erklären (15 min)
Gegeben ist eine stetige Funktion f. Die zugehörige Integralfunktion mit unterer Grenze a ist definiert durch
\(J_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt.\)
- Erläutere in eigenen Worten, was der Funktionswert \(J_a(x)\) geometrisch bedeutet. Fertige zur Veranschaulichung eine Skizze an.
- Gib den Wert \(J_a(a)\) an und begründe deine Antwort.
- Erläutere den Zusammenhang zwischen \(J_a\)und f.
| AFB II - K4 K6 | Quelle Sommerfeld |
4 HDI anwenden (15 min)
Ein Schüler behauptet:
"Die Funktion G mit \(G(x) = \int_2^x f(t)\,dt \) und die Funktion H mit \(H(x) = \int_5^x f(t)\,dt\) sind verschiedene Funktionen. Daher kann f nicht gleichzeitig die Ableitung von G und von H sein."
Erläutere, welcher Teil der Aussage richtig und welcher falsch ist.
| AFB II - K1 K6 | Quelle Sommerfeld |
5 Integralfunktion graphisch (15 min)
Gegeben ist der Graph einer in R definierten Funktion f.
Betrachtet wird die Integralfunktion \(J_0(x) = \int_0^x f(t)dt \).
- Markiere in der Skizze farbig den Flächeninhalt, der dem Wert \(J_0(4) \) entspricht.
- Entscheide ohne Rechnung, welcher der beiden Funktionswerte \(J_0(2) \) und \(J_0(4)\) größer ist.
- Begründe, an welcher Stelle \(x_0 \in [0;\,7] \) die Integralfunktion \(J_0 \) die kleinste Steigung besitzt.
| AFB II - K1 K4 K6 | Quelle Sommerfeld |