Zum Inhalt springen

Lösung Integralfunktion

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/20 10:20

Erste Teilaufgabe – Begründen, weshalb jede Integralfunktion auch Stammfunktion ist:

Für jedes a \in \mathbb{D} gilt: I_a (x)=\int_a^x f(x) dx = F(x)-F(a). Dabei bezeichnet F eine beliebige Stammfunktion von f. Da nun F(a) eine reelle Zahl ist, geht der Graph von I_a aus dem Graph von F durch Verschiebung um F(a) nach unten hervor und ist somit ebenfalls eine Stammfunktion von f.

Zweite Teilaufgabe – Überprüfen: Ist auch jede Stammfunktion eine Integralfunktion?

Es gibt hier verschiedene Herangehensweisen: Man kann eine Funktion skizzieren und verschiedene Stammfunktionen und überlegen: Ist jede dieser Stammfunktionen eine Integralfunktion und falls ja, für welches a?

Durch diese Überlegungen findet man schnell heraus: I_a muss bei x=a eine Nullstelle haben. Sobald jedoch eine Stammfunktion nicht ganz \mathbb{R} als Wertebereich hat (z. B. hat F(x) = x^2 den Wertebereich \mathbb{R}_0^+), kann man sie so nach oben oder unten verschieben, dass sie keine Nullstellen besitzt.

Pauls Aussage ist also falsch.

Es bleibt zu überprüfen, was mit einer Funktion f ist, deren Stammfunktionen F ganz \mathbb{R} als Wertemenge haben. Dann hat auch jede Stammfunktion F mindestens eine Nullstelle a.
Somit gilt für die Integralfunktion I_a folgende Gleichung: I_a (x)=F(x)-F(a)=F(x).
Also ist jede Stammfunktion Integralfunktion.

Sevdas Aussage ist falsch. Lucie hat recht.
(Es hängt davon ab, ob die Wertemenge einer Stammfunktion von f ganz \mathbb{R} abdeckt.)