BPE 13.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Bestimmtes Integral

1  Integralfunktion  (30 min) 𝕃

Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion \(I_a\) einer Funktion f auch Stammfunktion derselben Funktion f ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.

• Paul behauptet, dies sei für jede Funktion f der Fall.
• Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die keine Integralfunktionen sind.
• Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.

Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von f auch Stammfunktion von f ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.

2  Integrale berechnen  (15 min) 𝕃

1. Berechne das Integral der Funktion \(f(x) = x^3-2x^2\). Die Grenzen des Integrals sind die beiden Nullstellen. Der Graph der Funktion ist rechts abgebildet.
2. Berechne das Integral der folgenden Funktion im Intervall I[0;3]\(g(x) = 2e^{(-3x+1)}\).
3. Berechne das Integral von h(x) im Intervall I[0;3].

3  HDI erklären  (15 min)

Gegeben ist eine stetige Funktion f. Die zugehörige Integralfunktion mit unterer Grenze a ist definiert durch
\(J_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt.\)

1. Erläutere in eigenen Worten, was der Funktionswert \(J_a(x)\) geometrisch bedeutet. Fertige zur Veranschaulichung eine Skizze an.
2. Gib den Wert \(J_a(a)\) an und begründe deine Antwort. 
3. Erläutere den Zusammenhang zwischen \(J_a\)und f.

4  HDI anwenden  (10 min)

Ein Schüler behauptet:

"Die Funktion G mit \(G(x) = \int_2^x f(t)\,dt \) und die Funktion H mit \(H(x) = \int_5^x f(t)\,dt\) sind verschiedene Funktionen. Daher kann f nicht gleichzeitig die Ableitung von G und von H sein."

1. Begründe, unter welchen Voraussetzungen G und H verschiedene Funktionen sind.
2. Erkläre, ob die Aussage des Schülers wahr oder falsch ist.

5  Integralfunktion graphisch  (15 min)

Gegeben ist der Graph einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion f.

Betrachtet wird die Integralfunktion  \(J_0(x) = \int_0^x f(t)dt \).

1. Markiere in der Skizze farbig den Flächeninhalt, der dem Wert  \(J_0(4) \) entspricht.
2. Entscheide ohne Rechnung, welcher der beiden Funktionswerte  \(J_0(2) \) und  \(J_0(4)\) größer ist.
3. Begründe, an welcher Stelle  \(x_0 \in [0;\,7] \) die Integralfunktion  \(J_0 \) die kleinste Steigung besitzt.
4. Begründe, dass \(J_0 \) auf dem Intervall  \([0;\,7] \) streng monoton steigend ist. 

6  Flächen abschätzen  (k. A.) 𝕃

Gegeben ist die Funktion \(g(x)=x\cdot e^x\).

1. \(\int_{-1}^{1}x \cdot e^x dx >0\)