Lösung Polynomfunktion Grad 4
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/03/19 09:04
Vierter Grad bedeutet, dass die Funktion die Form \(f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) besitzt.
Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h.
\(f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0\)
\(f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x\)
Bedingungen und Gleichungen:
\(f^\prime(2)=0 \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0\)
\(f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =24\)
\(f(1)=9 \implies f(1)=a_4+a_2+a_0=9\).
\[\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 9 \\
2 & 1 & 0 & 12 \\
8 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)\]
Wir erzeugen eine Null in der zweiten Spalte in der 3. Zeile (-II + III)
\[\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 9 \\
2 & 1 & 0 & 12 \\
6 & 0 & 0 & -12
\end{array}
\right)\]
Aus III: \(6a_4 = -12 \implies a_4=-2\)
Aus II: \(-4 + a_2 = 12 \implies a_2=16\)
Aus I: \(-2 + 16 + a_0 = 9 \implies a_0=-5\)
Die Funktionsgleichung lautet damit insgesamt \(f(x)=-2x^4+16x^2-5\).