Lösung Polynomfunktion Grad 4

Zuletzt geändert von akukin am 2024/04/02 14:14

Vierter Grad bedeutet, dass die Funktion die Form f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 besitzt.
Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h. f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0.
Weiterhin gilt: f^\prime(2)=0 (Hochpunkt bei x=2)
f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0  (Gleichung (I))
Ebenso gilt (Tangente der Steigung 24 bei x=1): f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =14 (Gleichung (II))

Aus (I) folgt 4\cdot a_2= 32\cdot a_4 \ \Leftrightarrow a_2 = 8\cdot a_4.
Einsetzen von a_2 = 8\cdot a_4 in (II): 4\cdot a_4 +2\cdot (8\cdot a_4) = 20 \cdot a_4=24 \Leftrightarrow a_4= \frac{24}{20}=\frac{6}{5}.

Damit ist a_4=\frac{6}{5} und a_2 = 8\cdot a_4= 8 \cdot \frac{6}{5}=\frac{48}{5}.

Zudem ist bekannt, dass f(1)=9 und damit f(1)=a_4+a_2+a_0=\frac{6}{5}+\frac{48}{5}+a_0=9 \Leftrightarrow a_0=-\frac{9}{5}.

Die Funktionsgleichung lautet damit insgesamt f(x)=\frac{6}{5}x^4+\frac{48}{5}x^2-\frac{9}{5}.