Lösungsvorschlag

Version 30.1 von kickoff kickoff am 2023/10/09 16:13

Wegen der Achsensymmetrie zur y-Achse hat die gesuchte Funktionsgleichung folgende Form:

$f(x)=a \cdot x^4 + b \cdot x^2 + c {{\formula}} Die erste Ableitung lautet wie folgt: [[image:loesung_42748cdb2f89d9a3.gif||height="21" width="145"]] Wie man an der Funktionsgleichung von //f// sieht, müssen wir 3 Parameter bestimmen: //a//, //b// und //c.// Dass[[image:loesung_b2e8c5ebb0c19ac1.gif||height="19" width="67"]] auf //K// liegt, lässt sich wie folgt ausdrücken: 1. [[image:loesung_dc8a5dccb6d0d20.gif||height="19" width="76"]] Da wir die y-Koordinate des Hochpunktes von //K// nicht kennen, wissen wir also nur, dass[[image:loesung_58de57d3c53a5a25.gif||height="18" width="45"]] eine Extremstelle von //f// ist, d.h. es gilt: 1. [[image:loesung_4135c62309272d58.gif||height="19" width="75"]] Schließlich wissen wir noch, dass //K// an der Stelle[[image:loesung_a79030b999ec0512.gif||height="18" width="44"]] die Steigung 24 besitzt, also: 1. [[image:loesung_72370645b39a084a.gif||height="19" width="83"]] Aus diesen Bedingungen ergibt sich unter Verwendung der obigen Funktionsgleichungen folgendes LGS: 1. [[image:loesung_cb140793a0031f3d.gif||height="20" width="132"]] 1. [[image:loesung_42897eec5036f248.gif||height="20" width="119"]] 1. [[image:loesung_545dd99a3e7f57d7.gif||height="20" width="126"]] Vollständig ausgewertet sieht das LGS wie folgt aus: 1. [[image:loesung_5f5dfe8ac1e8c651.gif||height="18" width="96"]] 1. [[image:loesung_589bc35e242d2e7d.gif||height="18" width="95"]] 1. [[image:loesung_85c8a0b0b606e9b8.gif||height="18" width="95"]] Wenn wir das Ganze mithilfe einer Koeffizientenmatrix darstellen, sieht es so aus: [[image:loesung_990438fc4b1d346c.gif||height="63" width="235"]] [[image:loesung_62e70b57acbe3577.gif||height="63" width="274"]] [[image:loesung_60065e2ec6e256bf.gif||height="63" width="286"]] [[image:loesung_a2f5a52f018ecaba.gif||height="63" width="156"]] Nun liegt das LGS in der Stufenform vor, und wir können es „von unten nach oben“ auflösen. Aus Gleichung (IIIb) ergibt sich: [[image:loesung_40bcd90db2cba9e0.gif||height="82" width="188"]] Einsetzen von[[image:loesung_a1e0406dac32d643.gif||height="18" width="43"]] in Gleichung (IIb) führt zu folgender Rechnung: [[image:loesung_14b8fbace31fb038.gif||height="38" width="137"]] Einsetzen von[[image:loesung_a1e0406dac32d643.gif||height="18" width="43"]] und[[image:loesung_80f8efea713de3e5.gif||height="18" width="52"]] in Gleichung (I) erlaubt uns schließlich die Bestimmung des letzten noch unbekannten Parameters: [[image:loesung_5f05679ee918210c.gif||height="77" width="218"]] Damit ist die Funktionsgleichung von //f// vollständig bestimmt und lautet wie folgt: [[image:loesung_fa8619c45c11c3bc.gif||height="21" width="164"]] Mit [[GeoGebra>>url:https://www.geogebra.org/calculator]] lässt sich leicht überprüfen, dass die ermittelte Funktionsgleichung einen Graphen mit den geforderten Eigenschaften besitzt.$