Lösung Polynomfunktion Grad 4
Wegen der Achsensymmetrie zur y-Achse hat die gesuchte Funktionsgleichung folgende Form:
Die erste Ableitung lautet wie folgt:
Wie man an der Funktionsgleichung von f sieht, müssen wir 3 Parameter bestimmen: a, b und c.
Dass auf K liegt, lässt sich wie folgt ausdrücken:
Da wir die y-Koordinate des Hochpunktes von K nicht kennen, wissen wir also nur, dass eine Extremstelle von f ist, d.h. es gilt:
Schließlich wissen wir noch, dass K an der Stelle die Steigung 24 besitzt, also:
Aus diesen Bedingungen ergibt sich unter Verwendung der obigen Funktionsgleichungen folgendes LGS:
Vollständig ausgewertet sieht das LGS wie folgt aus:
Wenn wir das Ganze mithilfe einer Koeffizientenmatrix darstellen, sieht es so aus:
Nun liegt das LGS in der Stufenform vor, und wir können es „von unten nach oben“ auflösen.
Aus Gleichung (IIIb) ergibt sich:
Einsetzen von in Gleichung (IIb) führt zu folgender Rechnung:
Einsetzen von und
in Gleichung (I) erlaubt uns schließlich die Bestimmung des letzten noch unbekannten Parameters:
Damit ist die Funktionsgleichung von f vollständig bestimmt und lautet wie folgt:
Mit GeoGebra lässt sich leicht überprüfen, dass die ermittelte Funktionsgleichung einen Graphen mit den geforderten Eigenschaften besitzt.