Lösung Polynomfunktion Grad 4

Zuletzt geändert von kickoff kickoff am 2023/10/13 08:15

Wegen der Achsensymmetrie zur y-Achse hat die gesuchte Funktionsgleichung folgende Form:

$f(x)=a \cdot x^4 + b \cdot x^2 + c$

Die erste Ableitung lautet wie folgt:

$f'(x)=4 \cdot a \cdot x^3 + 2 \cdot b \cdot x$

Wie man an der Funktionsgleichung von f sieht, müssen wir 3 Parameter bestimmen: a, b und c.

Dass $P(1 \mid 19)$ auf K liegt, lässt sich wie folgt ausdrücken:

Da wir die y-Koordinate des Hochpunktes von K nicht kennen, wissen wir also nur, dass eine Extremstelle von f ist, d.h. es gilt:

Schließlich wissen wir noch, dass K an der Stelle die Steigung 24 besitzt, also:

Aus diesen Bedingungen ergibt sich unter Verwendung der obigen Funktionsgleichungen folgendes LGS:

Vollständig ausgewertet sieht das LGS wie folgt aus:

Wenn wir das Ganze mithilfe einer Koeffizientenmatrix darstellen, sieht es so aus:

Nun liegt das LGS in der Stufenform vor, und wir können es „von unten nach oben“ auflösen.

Aus Gleichung (IIIb) ergibt sich:

Einsetzen von in Gleichung (IIb) führt zu folgender Rechnung:

Einsetzen von und in Gleichung (I) erlaubt uns schließlich die Bestimmung des letzten noch unbekannten Parameters:

Damit ist die Funktionsgleichung von f vollständig bestimmt und lautet wie folgt:

Mit GeoGebra lässt sich leicht überprüfen, dass die ermittelte Funktionsgleichung einen Graphen mit den geforderten Eigenschaften besitzt.