Erwartungshorizont
\(\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}\)
Erläuterung der Lösung
Da sich \(g\) und \(g^\ast\) in \(P\) schneiden und jeweils ein weiterer Punkt gegeben ist (\(A\) liegt auf \(g\), \(B\) liegt auf \(g^\ast\)), können diese beiden Geraden sofort eingezeichnet werden.
Da \(h\) die Gerade sein soll, an der \(g\) gespiegelt \(g^\ast\) ergibt, muss \(h\) eine Winkelhalbierende von \(g\) und \(g^\ast\) sein. (Die andere, um 90° gedrehte Winkelhalbierende wäre auch möglich.)
Mit dem Spiegelpunkt \(B\prime\), der entsteht, wenn \(B\) an \(h\) gespiegelt wird, ergeben \(B,P,B^\prime\) und ein weiterer Punkt auf \(h\) eine Raute, deren Diagonale auf \(h\) liegt. Addiert man die Vektoren \(\overrightarrow{PB}\) und \(\overrightarrow{PB^\prime}\), erhält man also einen Vektor, mit dem man von \(P\) entlang \(h\) zu einem weiteren Punkt auf \(h\) kommt.
Obwohl \(B^\prime\) nicht zur Verfügung steht, kann \(\overrightarrow{PB^\prime}\) mit Hilfe von \(\overrightarrow{AP}\) ausgedrückt werden, denn beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung, haben jedoch unterschiedliche Längen (Beträge). Mit Hilfe der Beträge \(\left|\overrightarrow{AP}\right|\) und \(\left|\overrightarrow{PB}\right|\) kann \(\overrightarrow{AP}\) jedoch derart verkürzt werden, sodass \(\overrightarrow{PB^\prime}\) entsteht. Dazu wird \(\overrightarrow{AP}\) zuerst auf die Länge 1 skaliert, indem er durch seinen eigenen Betrag geteilt wird. Mit anderen Worten: Es wird der Einheitsvektor von \(\overrightarrow{AP}\) gebildet:
\(\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\)
Im Anschluss wird dieser Einheitsvektor mit der Länge von \(\overrightarrow{PB}\) multipliziert. (\(\overrightarrow{PB}\) und \(\overrightarrow{PB\prime}\) haben ja denselben Betrag.)
\(\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\left|\overrightarrow{PB}\right|\) Jetzt haben wir den gesuchten Verbindungsvektor, mit dem wir von \(P\) entlang \(h\) zu einem weiteren Punkt auf \(h\) kommen. Der dazugehörige Ortsvektor des weiteren Punktes auf \(h\) lautet: \(\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}\)