Wiki-Quellcode von Lösung Oktaeder
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | === Teilaufgabe 1 === | ||
| 2 | |||
| 3 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 4 | Kantenlänge des Würfels: {{formula}}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{144}=12{{/formula}} | ||
| 5 | {{/detail}} | ||
| 6 | |||
| 7 | {{detail summary="Erläuterung"}} | ||
| 8 | Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} der gesuchten Kantenlänge entspricht. | ||
| 9 | <br> | ||
| 10 | {{formula}}A\left(1\left|2\right|1\right),C\left(-3\left|-6\right|9\right){{/formula}} | ||
| 11 | <br> | ||
| 12 | {{formula}}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -3 \\ -6 \\ 9 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{144}=12{{/formula}} | ||
| 13 | |||
| 14 | <br> | ||
| 15 | Also ist die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}}. | ||
| 16 | {{/detail}} | ||
| 17 | |||
| 18 | |||
| 19 | === Teilaufgabe 2 === | ||
| 20 | |||
| 21 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 22 | Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}\overline{AC}: M\left(-1\left|-2\right|5\right){{/formula}} | ||
| 23 | <br> | ||
| 24 | Normalenvektor von {{formula}}H: \ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \ \text{mit} \ \left|\vec{n}\right|=3{{/formula}} | ||
| 25 | <br> | ||
| 26 | Damit ergeben sich die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte, die nicht in {{formula}}H{{/formula}} liegen, zu | ||
| 27 | <br> | ||
| 28 | {{formula}}\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 0 \\ 9 \end{array}\right){{/formula}}. | ||
| 29 | |||
| 30 | {{/detail}} | ||
| 31 | |||
| 32 | {{detail summary="Erläuterung"}} | ||
| 33 | Wir gehen bis zum Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} des Quadrats {{formula}}ABCD{{/formula}}, das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}, und von dort aus in Richtung des Normalenvektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}} von {{formula}}H{{/formula}}, da dieser senkrecht auf {{formula}}ABCD{{/formula}} steht. | ||
| 34 | <br> | ||
| 35 | Da die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}} ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von {{formula}}M{{/formula}} aus {{formula}}6{{/formula}} Längeneinheiten in Richtung {{formula}}\vec{n}{{/formula}} gehen. | ||
| 36 | <br> | ||
| 37 | Der Normalenvektor besteht aus den Koeffizienten der Gleichung der Ebene {{formula}}H{{/formula}} in Koordinatenform: | ||
| 38 | <br> | ||
| 39 | {{formula}}H:\ 2x_1+x_2+2x_3=6 \ \Rightarrow\ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} | ||
| 40 | <br> | ||
| 41 | Der Betrag von {{formula}}\vec{n}{{/formula}} ergibt: {{formula}}\left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3{{/formula}} | ||
| 42 | <br> | ||
| 43 | Da die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}} ist und wir nur die Hälfte von {{formula}}M{{/formula}} aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor {{formula}}2\vec{n}{{/formula}}, um von {{formula}}M{{/formula}} zum gesuchten Punkt {{formula}}P_1{{/formula}} zu gelangen: | ||
| 44 | |||
| 45 | {{formula}} | ||
| 46 | \begin{align} | ||
| 47 | \overrightarrow{OP_1}&=\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+2\cdot\vec{n} \\ | ||
| 48 | &=\frac{1}{2}\cdot | ||
| 49 | \left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ | ||
| 50 | &=\frac{1}{2}\cdot | ||
| 51 | \left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ | ||
| 52 | &= | ||
| 53 | \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right) | ||
| 54 | \end{align} | ||
| 55 | {{/formula}} | ||
| 56 | |||
| 57 | Einer der beiden gesuchten Punkte lautet also {{formula}}P_1\left(3\left|0\right|9\right){{/formula}}. | ||
| 58 | <br> | ||
| 59 | Den anderen gesuchten Punkt (den unteren Punkt) {{formula}}P_2{{/formula}} erhält man, wenn man den doppelten Normalenvektor subtrahiert statt addiert: | ||
| 60 | |||
| 61 | {{formula}} | ||
| 62 | \begin{align} | ||
| 63 | \overrightarrow{OP_2}&=\overrightarrow{OM}-2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)-2\cdot\vec{n} \\ | ||
| 64 | &=\frac{1}{2}\cdot | ||
| 65 | \left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ | ||
| 66 | &=\frac{1}{2}\cdot | ||
| 67 | \left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ | ||
| 68 | &= | ||
| 69 | \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) | ||
| 70 | \end{align} | ||
| 71 | {{/formula}} | ||
| 72 | |||
| 73 | |||
| 74 | Der zweite Punkt lautet also {{formula}}P_2\left(-5\left|-4\right|1\right){{/formula}}. | ||
| 75 | <br> | ||
| 76 | <br> | ||
| 77 | __Hinweis__: Es ist jedoch nur nach einem der beiden Punkte gefragt. | ||
| 78 | {{/detail}} |