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Wiki-Quellcode von Lösung Oktaeder

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 17:11
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2
3 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
4 Kantenlänge des Würfels: {{formula}}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{144}=12{{/formula}}
5 {{/detail}}
6
7
8 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
9 Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} der gesuchten Kantenlänge entspricht.
10 <br>
11 {{formula}}A\left(1\left|2\right|1\right),C\left(-3\left|-6\right|9\right){{/formula}}
12 <br>
13 {{formula}}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -3 \\ -6 \\ 9 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{144}=12{{/formula}}
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15 <br>
16 Also ist die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}}.
17 {{/detail}}
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20 === Teilaufgabe 2 ===
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22 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
23 Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}\overline{AC}: M\left(-1\left|-2\right|5\right){{/formula}}
24 <br>
25 Normalenvektor von {{formula}}H: \ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \ \text{mit} \ \left|\vec{n}\right|=3{{/formula}}
26 <br>
27 Damit ergeben sich die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte, die nicht in {{formula}}H{{/formula}} liegen, zu
28 <br>
29 {{formula}}\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 0 \\ 9 \end{array}\right){{/formula}}.
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31 {{/detail}}
32
33
34 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
35 Wir gehen bis zum Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} des Quadrats {{formula}}ABCD{{/formula}}, das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}, und von dort aus in Richtung des Normalenvektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}} von {{formula}}H{{/formula}}, da dieser senkrecht auf {{formula}}ABCD{{/formula}} steht.
36 <br>
37 Da die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}} ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von {{formula}}M{{/formula}} aus {{formula}}6{{/formula}} Längeneinheiten in Richtung {{formula}}\vec{n}{{/formula}} gehen.
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39 Der Normalenvektor besteht aus den Koeffizienten der Gleichung der Ebene {{formula}}H{{/formula}} in Koordinatenform:
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41 {{formula}}H:\ 2x_1+x_2+2x_3=6 \ \Rightarrow\ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}}
42 <br>
43 Der Betrag von {{formula}}\vec{n}{{/formula}} ergibt: {{formula}}\left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3{{/formula}}
44 <br>
45 Da die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}} ist und wir nur die Hälfte von {{formula}}M{{/formula}} aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor {{formula}}2\vec{n}{{/formula}}, um von {{formula}}M{{/formula}} zum gesuchten Punkt {{formula}}P_1{{/formula}} zu gelangen:
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47 {{formula}}
48 \begin{align*}
49 \overrightarrow{OP_1}&=\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+2\cdot\vec{n} \\
50 &=\frac{1}{2}\cdot
51 \left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\
52 &=\frac{1}{2}\cdot
53 \left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\
54 &=
55 \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right)
56 \end{align*}
57 {{/formula}}
58
59 Einer der beiden gesuchten Punkte lautet also {{formula}}P_1\left(3\left|0\right|9\right){{/formula}}.
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61 Den anderen gesuchten Punkt (den unteren Punkt) {{formula}}P_2{{/formula}} erhält man, wenn man den doppelten Normalenvektor subtrahiert statt addiert:
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63 {{formula}}
64 \begin{align*}
65 \overrightarrow{OP_2}&=\overrightarrow{OM}-2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)-2\cdot\vec{n} \\
66 &=\frac{1}{2}\cdot
67 \left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\
68 &=\frac{1}{2}\cdot
69 \left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\
70 &=
71 \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)
72 \end{align*}
73 {{/formula}}
74
75
76 Der zweite Punkt lautet also {{formula}}P_2\left(-5\left|-4\right|1\right){{/formula}}.
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79 __Hinweis__: Es ist jedoch nur nach einem der beiden Punkte gefragt.
80 {{/detail}}