Lösung Quadrat Diagonale

{{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}} liefert {{formula}}\lambda=2{{/formula}}.

3

4

Schnittpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Diagonalen: {{formula}}M\left(3\left|4\right|0\right){{/formula}}

5

6

{{formula}}\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5{{/formula}}

7

8

Flächeninhalt des Quadrats: {{formula}}4\cdot\frac{1}{2}\cdot5^2=50{{/formula}}

[[image:Quadrateingezeichnet.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

14

Da der Schnittpunkt der Diagonalen {{formula}}S_{12}{{/formula}} in der x,,1,,x,,2,,-Ebene liegt, muss die x,,3,,-Koordinate null sein. Der gesuchte Punkt auf der Geraden kann also mit {{formula}}S_{12}\left(x_1\left|x_2\right|0\right){{/formula}} beschrieben werden.

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16

Die Gleichung der Geraden ist

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{{formula}}g: \ \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) {{/formula}} mit {{formula}}\lambda\in\mathbb{R}{{/formula}}.

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19

Setzen wir diese mit dem Ortsvektor von {{formula}}S_{12}{{/formula}} gleich, erhalten wir den Wert des Parameters {{formula}}\lambda{{/formula}} und damit die beiden fehlenden Koordinaten von {{formula}}S_{12}{{/formula}}:

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{{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}

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Da die x,,3,,-Koordinate null sein muss, ist {{formula}}\lambda=2{{/formula}}. Setzt man {{formula}}\lambda=2 {{/formula}} in die Geradengleichung ein

24

{{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1+2\cdot 2 \\ 4+2\cdot 0 \\ -2+2\cdot 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3\\ 4 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}

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erhält man {{formula}}S_{12}\left(3\left|4\right|0\right){{/formula}}.

27

28

Die Fläche des Quadrats besteht aus vier gleichgroßen rechtwinkligen Dreiecken, deren Katheten jeweils die Länge {{formula}}\left|\overrightarrow{OS_{12}}\right|{{/formula}} haben (die Hälfte der gleichlangen Diagonalen).

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30

{{formula}}\left|\overrightarrow{OS_{12}}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5{{/formula}}

31

32

Also ist der Flächeninhalt des Quadrats:

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{{formula}}A_{\mathrm{Quadrat}}=4\cdot A_{\mathrm{Dreieck}}=4\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\right)=50{{/formula}}

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		1	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		2	{{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}} liefert {{formula}}\lambda=2{{/formula}}.
		3	<br>
		4	Schnittpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Diagonalen: {{formula}}M\left(3\left\|4\right\|0\right){{/formula}}
		5	<br>
		6	{{formula}}\left\|\overrightarrow{OM}\right\|=\sqrt{3^2+4^2}=5{{/formula}}
		7	<br>
		8	Flächeninhalt des Quadrats: {{formula}}4\cdot\frac{1}{2}\cdot5^2=50{{/formula}}
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		10
		11
		12	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		13	[[image:Quadrateingezeichnet.png\|\|width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		14	Da der Schnittpunkt der Diagonalen {{formula}}S_{12}{{/formula}} in der x,,1,,x,,2,,-Ebene liegt, muss die x,,3,,-Koordinate null sein. Der gesuchte Punkt auf der Geraden kann also mit {{formula}}S_{12}\left(x_1\left\|x_2\right\|0\right){{/formula}} beschrieben werden.
		15	<br>
		16	Die Gleichung der Geraden ist
		17	{{formula}}g: \ \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) {{/formula}} mit {{formula}}\lambda\in\mathbb{R}{{/formula}}.
		18	<br>
		19	Setzen wir diese mit dem Ortsvektor von {{formula}}S_{12}{{/formula}} gleich, erhalten wir den Wert des Parameters {{formula}}\lambda{{/formula}} und damit die beiden fehlenden Koordinaten von {{formula}}S_{12}{{/formula}}:
		20	<br>
		21	{{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}
		22	<br>
		23	Da die x,,3,,-Koordinate null sein muss, ist {{formula}}\lambda=2{{/formula}}. Setzt man {{formula}}\lambda=2 {{/formula}} in die Geradengleichung ein
		24	{{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1+2\cdot 2 \\ 4+2\cdot 0 \\ -2+2\cdot 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3\\ 4 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}
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		26	erhält man {{formula}}S_{12}\left(3\left\|4\right\|0\right){{/formula}}.
		27	</p>
		28	Die Fläche des Quadrats besteht aus vier gleichgroßen rechtwinkligen Dreiecken, deren Katheten jeweils die Länge {{formula}}\left\|\overrightarrow{OS_{12}}\right\|{{/formula}} haben (die Hälfte der gleichlangen Diagonalen).
		29	<br><p>
		30	{{formula}}\left\|\overrightarrow{OS_{12}}\right\|=\sqrt{3^2+4^2}=5{{/formula}}
		31	<br></p>
		32	Also ist der Flächeninhalt des Quadrats:
		33	<br>
		34	{{formula}}A_{\mathrm{Quadrat}}=4\cdot A_{\mathrm{Dreieck}}=4\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\right)=50{{/formula}}
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Wiki-Quellcode von Lösung Quadrat Diagonale