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Wiki-Quellcode von Lösung Quadrat Diagonale

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/19 13:20
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1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2 {{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}} liefert {{formula}}\lambda=2{{/formula}}.
3 <br>
4 Schnittpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Diagonalen: {{formula}}M\left(3\left|4\right|0\right){{/formula}}
5 <br>
6 {{formula}}\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5{{/formula}}
7 <br>
8 Flächeninhalt des Quadrats: {{formula}}4\cdot\frac{1}{2}\cdot5^2=50{{/formula}}
9 {{/detail}}
10
11
12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 [[image:Quadrateingezeichnet.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
14 Da der Schnittpunkt der Diagonalen {{formula}}S_{12}{{/formula}} in der x,,1,,x,,2,,-Ebene liegt, muss die x,,3,,-Koordinate null sein. Der gesuchte Punkt auf der Geraden kann also mit {{formula}}S_{12}\left(x_1\left|x_2\right|0\right){{/formula}} beschrieben werden.
15 <br>
16 Die Gleichung der Geraden ist
17 {{formula}}g: \ \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) {{/formula}} mit {{formula}}\lambda\in\mathbb{R}{{/formula}}.
18 <br>
19 Setzen wir diese mit dem Ortsvektor von {{formula}}S_{12}{{/formula}} gleich, erhalten wir den Wert des Parameters {{formula}}\lambda{{/formula}} und damit die beiden fehlenden Koordinaten von {{formula}}S_{12}{{/formula}}:
20 <br>
21 {{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}
22 <br>
23 Da die x,,3,,-Koordinate null sein muss, ist {{formula}}\lambda=2{{/formula}}. Setzt man {{formula}}\lambda=2 {{/formula}} in die Geradengleichung ein
24 {{formula}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1+2\cdot 2 \\ 4+2\cdot 0 \\ -2+2\cdot 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3\\ 4 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}
25 <br><p>
26 erhält man {{formula}}S_{12}\left(3\left|4\right|0\right){{/formula}}.
27 </p>
28 Die Fläche des Quadrats besteht aus vier gleichgroßen rechtwinkligen Dreiecken, deren Katheten jeweils die Länge {{formula}}\left|\overrightarrow{OS_{12}}\right|{{/formula}} haben (die Hälfte der gleichlangen Diagonalen).
29 <br><p>
30 {{formula}}\left|\overrightarrow{OS_{12}}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5{{/formula}}
31 <br></p>
32 Also ist der Flächeninhalt des Quadrats:
33 <br>
34 {{formula}}A_{\mathrm{Quadrat}}=4\cdot A_{\mathrm{Dreieck}}=4\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\right)=50{{/formula}}
35
36
37 {{/detail}}