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Wiki-Quellcode von Lösung Drei Geraden

Version 1.1 von akukin am 2026/05/13 14:35
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1 (%class=abc%)
2 1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}:
3 Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
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5 Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:
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7 {{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
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9 Wir erhalten dabei das Gleichungssystem
10 {{formula}}
11 \begin{align*}
12 \text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\
13 \text{II}: \ \quad -2&=0+2t\\
14 \text{III}:\ \ \ 1+s&=2
15 \end{align*}
16 {{/formula}}
17
18 Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 1+s=2 \ \Leftrightarrow \ s=1{{/formula}}.
19 Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
20 Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
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22 Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen:
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24 {{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1){{/formula}}.)))