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Wiki-Quellcode von Lösung Drei Geraden

Zuletzt geändert von akukin am 2026/05/13 16:33
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1 (%class=abc%)
2 1. (((Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich:
3
4 {{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
5
6 Dabei erhalten wir das LGS
7 {{formula}}
8 \begin{align*}
9 \text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\
10 \text{II}: \ \quad -2&=0+2t\\
11 \text{III}:\ \ \ 1+s&=2
12 \end{align*}
13 {{/formula}}
14
15 Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 1+s=2 \ \Leftrightarrow \ s=1{{/formula}}.
16 Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
17 Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
18
19 Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel {{formula}}s=1{{/formula}} in {{formula}}g_1{{/formula}} (alternativ {{formula}}t=-1{{/formula}} in {{formula}}g_2{{/formula}}):
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21 {{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1){{/formula}}.)))
22 1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
23
24 Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
25
26 {{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}{{/formula}}
27
28 LGS:
29 {{formula}}
30 \begin{align*}
31 \text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\
32 \text{II}: \ -2+0s&=0\\
33 \text{III}:\qquad 1+s&=6-t
34 \end{align*}
35 {{/formula}}
36
37 Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich die falsche Aussage {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
38
39
40 Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} Vielfache voneinander sind {{formula}}\left((-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right){{/formula}}, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.
41
42 )))
43 1. ((({{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
44
45 Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
46
47 {{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
48
49 LGS:
50 {{formula}}
51 \begin{align*}
52 \text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
53 \text{II}: \ 0+2s&=0\\
54 \text{III}:\ 2+0s&=6-t
55 \end{align*}
56 {{/formula}}
57
58 Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
59 Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
60
61 Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
62 {{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
63
64
65 Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief.)))