Wiki-Quellcode von Lösung Drei Geraden

Zuletzt geändert von akukin am 2026/05/13 16:33

version	line-number	content
1.1	1	(%class=abc%)
3.1	2	1. (((Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich:
1.1	3
	4	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
	5
3.1	6	Dabei erhalten wir das LGS
1.1	7	{{formula}}
	8	\begin{align*}
	9	\text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\
	10	\text{II}: \ \quad -2&=0+2t\\
	11	\text{III}:\ \ \ 1+s&=2
	12	\end{align*}
	13	{{/formula}}
	14
	15	Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 1+s=2 \ \Leftrightarrow \ s=1{{/formula}}.
	16	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
	17	Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
	18
3.1	19	Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel {{formula}}s=1{{/formula}} in {{formula}}g_1{{/formula}} (alternativ {{formula}}t=-1{{/formula}} in {{formula}}g_2{{/formula}}):
1.1	20
	21	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1\|-2\|1){{/formula}}.)))
2.1	22	1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
	23
3.1	24	Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
2.1	25
	26	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}{{/formula}}
	27
3.1	28	LGS:
2.1	29	{{formula}}
	30	\begin{align*}
	31	\text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\
	32	\text{II}: \ -2+0s&=0\\
	33	\text{III}:\qquad 1+s&=6-t
	34	\end{align*}
	35	{{/formula}}
	36
3.1	37	Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich die falsche Aussage {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
2.1	38
3.1	39
	40	Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} Vielfache voneinander sind {{formula}}\left((-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right){{/formula}}, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.
	41
	42	)))
2.1	43	1. ((({{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
	44
3.1	45	Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
2.1	46
	47	{{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
	48
3.1	49	LGS:
2.1	50	{{formula}}
	51	\begin{align*}
	52	\text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
	53	\text{II}: \ 0+2s&=0\\
	54	\text{III}:\ 2+0s&=6-t
	55	\end{align*}
	56	{{/formula}}
	57
	58	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
	59	Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
	60
3.1	61	Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
2.1	62	{{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
	63
3.1	64
	65	Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief.)))