BPE 16.3 Ebenen und Normalenvektoren

1  Normalenvektor  (4 min)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 7\end{pmatrix}\).
Berechne die Koordinaten des Vektors \(\vec{n}\), der senkrecht zu den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) steht und die Länge 1 hat.

2  Normalenvektor Ebene  (8 min) 𝕃

Gegeben ist die Ebene \(E\) in Parameterform:

1. Ermittle einen Normalenvektor \(\vec{n}\) für die Ebene \(E\).
2. Zeige rechnerisch, dass der Normalenvektor zu den beiden Spannvektoren orthogonal ist.
3. Ein Mitschüler behauptet: "Mein Normalenvektor lautet \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Ich habe bestimmt einen Fehler gemacht, da mein Vektor ganz anders aussieht als deiner." Nimm dazu Stellung.

3  Koordinatenform Äquivalenzumformung  (2 min) 𝕃

Wenn man bei der Ebenengleichung \(E: 2x_1-4x_2+6x_3=6\) beide Seiten durch zwei teilt:

Ist es dann noch die gleiche Ebene? Erläutere!

4  Koordinatenform zwei Spurpunkte  (2 min) 𝕋  𝕃

Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte (3|0|0) und (0|4|0). Stelle eine Ebenengleichung in Koordinatenform auf!

5  Aufstellen  (4 min)

Stelle jeweils eine Gleichung auf für eine Ebene, die ..

1. parallel ist zu x₁x₂- Ebene
2. parallel ist zur Ebene \(E: 2x_1-4x_2+6x_3=6\)

6  Ebene aus Punkten  (6 min)

Gegeben sind die Punkte \(A(1|3|1)\), \(B(2|2|-4)\), \(C(3|1|1)\) und \(D(4|0|1)\).
Zeige, dass die vier Punkte auf einer gemeinsamen Ebene liegen.

7  Ebene aus Schaubild  (6 min)

In der Abbildung sind Ausschnitte von Ebenen dargestellt. Bestimme jeweils eine Parametergleichung.

8  Ebene aus Geraden  (k.A.) 𝕃

Gegeben sind ..

1. zwei parallele Geraden
   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)

2. zwei sich schneidende Geraden
   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3. zwei windschiefe Geraden
   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Bestimme, soweit möglich, jeweils die Gleichung einer Ebene, die die beiden Geraden enthält.

9  Eigenschaften  (k.A.)

Bestimme die Gleichung derjenigen Ebene, die gleichzeitig alle folgenden Eigenschaften erfüllt:

• Sie verläuft durch \(P(1|-3|5)\)
• Ihre Spurpunkte mit der \(x_1\) und \(x_3\)-Achse sind jeweils doppelt so weit vom Ursprung entfernt wie ihr Spurpunkt mit der \(x_1\)-Achse.
• Sie verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.